时变时滞分数阶微分系统的可控性与最小能量控制：理论框架与应用展望

《Fractal and Fractional》：Controllability and Minimum-Energy Control of Fractional Differential Systems with Time-Varying State and Control Delays

本文提出了一种针对具有Caputo导数（γ∈(0,1)）和全时变状态与控制时滞的线性分数阶微分系统的统一分析框架。文章推导了基于分数阶基本矩阵的显式温和解表示，并引入了新的可控性格拉姆矩阵。利用矩阵值Mittag-Leffler函数的解析性质，证明了一个分数阶Kalman型定理，表明有界时变时滞不会改变由（F, G, K）决定的代数可控性结构。通过Hilbert空间方法，以闭式解形式解决了最小能量控制问题。高效的数值策略及多个示例（包括时滞粘弹性、神经和机器人模型）展示了其实际应用性与计算可行性。

　　

分数阶微分系统与可控性理论概述

分数阶微分方程因其能够有效刻画具有记忆效应、长程依赖性和非局部行为的复杂系统，近几十年来受到广泛关注。这类系统在粘弹性材料、反常扩散及生物过程等领域自然涌现。与经典的整数阶微分方程不同，分数阶系统能够捕捉许多物理、工程和生物系统中出现的历史依赖性动力学和异常行为。在粘弹性、神经动力学、机器人学、流行病学及电化学系统中的应用，进一步推动了分数阶时滞模型的使用。

背景与预备知识

分数阶微积分的核心是Caputo分数阶导数。对于阶次γ∈(0,1)，其定义包含一个权重核函数(t-s)^-γ，该核函数赋予近期历史较大的权重，而赋予遥远历史较小的权重。因此，Caputo导数近似于对变量x所有过去变化量的加权记忆。当γ=1时，Caputo导数退化为经典的一阶导数。

在分数阶动力学中，经典的指数函数e^λt被Mittag-Leffler函数所取代。对于γ∈(0,1)，函数E_γ(-t^γ)的衰减速度比e^-t更慢，这表明分数阶系统遗忘速度更慢，并表现出长记忆效应。

时变时滞由可测函数σ(t)和ρ(t)表示，它们满足0 ≤ σ(t), ρ(t) ≤ d?。时滞算子定义为(D_σx)(t) = x(t - σ(t))，用于模拟有限的传播和处理时滞。

问题表述

考虑具有时变状态和控制时滞的线性分数阶微分系统。该系统模型包含Caputo导数阶次γ、常数矩阵F, G, K、状态时滞σ(t)、控制时滞ρ(t)、控制输入u(t)以及容许的初始历史函数φ(t)。时滞函数的容许性条件确保其诱导的时滞算子在相应的函数空间上是有界的，这排除了具有累积点或无限快振荡的病态时滞分布。

本文主要解决两个问题：一是可控性，即判断系统能否从任意初始历史φ驱动到终端状态x_T；二是最小能量控制，即在所有满足x(T) = x_T的控制中，找到使控制能量积分J(u)最小的那个。

显式温和解表示

通过Caputo积分表示，系统的解可以表示为积分形式。定义分数阶基本矩阵Φ_γ(t, s)，它满足齐次Caputo系统的方程。对于常数矩阵F，这个双参数族由矩阵Mittag-Leffler函数显式给出。系统的温和解可以写成一个积分表达式，该表达式在终端时间t = T处可以分解为自由响应x_free（由初始历史和时滞函数决定）和控制作用L u（包括瞬时和时滞效应）之和。因此，可控性由算子L的性质决定。

可控性分析

可控性算子L被定义为从L²空间到Rⁿ的映射。相关的可控性格拉姆矩阵定义为W_T= L L^*。该矩阵衡量了在时间区间[0, T]上，控制输入（包括瞬时和时滞的）对系统模式的激励强度。

通过分析矩阵值Mittag-Leffler函数的解析展开式，可以证明一个关键引理：格拉姆矩阵的核与由矩阵F, G, K的幂次生成的有限维可控子空间C的正交补空间相同。基于此，本文证明了分数阶Kalman型可控性定理。该定理指出，系统在[0, T]上可控的充要条件是该有限维可控子空间C的维数为n，即相应的可控性矩阵满秩。这一结果的关键洞察在于：时变时滞会改变算子L和格拉姆矩阵W_T的数值，但不会改变代数可控性秩检验的条件，该条件仅取决于矩阵F, G, K。

最小能量控制

最小能量控制问题是在Hilbert空间框架下求解的。通过构建拉格朗日函数并求其Frechet导数，可以得到最优控制u^*的表达式。如果系统可控（即W_T正定），则对于任意给定的终端状态x_T和初始历史φ，存在唯一的最小能量控制u^*，其具有闭式解形式。该最优控制可以解释为将能量以最优方式分配到所有可用输入通道（包括时滞通道）的结果。最小能量值由终端状态偏差与格拉姆矩阵逆的二次型给出。从能量视角看，格拉姆矩阵在状态空间上定义了一种度量，量化了到达不同方向的控制成本。

数值方法

为实现理论框架的计算，文章描述了若干数值策略。矩阵值Mittag-Leffler函数的计算可采用截断幂级数法、矩阵对角化法、Schur分解法或专用求解器。对于分数阶微分方程本身的求解，Diethelm-Ford-Freed预测-校正方法具有良好的稳定性，并能自然处理时变时滞项。可控性格拉姆矩阵的积分计算可采用高斯-勒让德求积法或自适应辛普森法。计算的主要挑战在于高维系统下矩阵函数的计算成本，可采用Krylov子空间近似、预计算、并行计算和模型降阶等策略进行缓解。最优控制中伴随算子的数值评估也给出了实用方法。

数值示例

文章通过五个例子验证理论和方法。示例一为标量系统，展示了在特定参数下可获得半解析解，并验证了可控性。示例二为无时滞的二维系统，通过计算验证了可控性矩阵满秩和格拉姆矩阵正定，并求解了最优控制。示例三在示例二基础上引入时变时滞，计算显示格拉姆矩阵数值发生变化但仍正定，最优控制同时包含瞬时和时滞输入通道的影响，证实时滞不改变代数可控性。示例四是一个六维粘弹性致动器模型，展示了方法对中等规模系统的可扩展性，计算得到的格拉姆矩阵条件良好。示例五是一个非线性分数阶时滞系统，通过在平衡点线性化后应用本文的理论进行分析和控制设计，仿真表明基于线性化模型设计的最优控制能有效驱动非线性系统，这说明了该理论在非线性背景下的局部应用潜力。

应用领域

分数阶时滞系统理论在多个领域具有应用前景。在粘弹性和智能致动器系统中，如聚合物人工肌肉，其本构关系常用分数阶模型描述，控制系统中的通信时滞可用本文方法处理。神经系统中的突触传递存在时滞，神经元动力学也显示分数阶特性，可控性理论有助于设计调节神经活动的输入信号。网络化机器人系统（如无人机编队）常受随机通信时滞影响，其运动控制问题可纳入此框架。生物和流行病学模型中，疾病的潜伏期、免疫记忆等可用分数阶时滞方程描述，线性化后的可控性分析有助于评估干预措施的效果。电化学和电池系统中，锂离子扩散具有分数阶特性，电池管理系统的传感器时滞也可用本文方法处理。

讨论与结论

本文的核心发现是，时变时滞不改变分数阶线性系统的代数可控性结构，这源于矩阵值Mittag-Leffler函数的解析性。主要的计算挑战在于高维情况下格拉姆矩阵的求取，但混合数值策略使其在许多实际情况下可行。本文工作可自然扩展至非线性系统的线性化控制设计，但建立完整的非线性分数阶时滞系统可控性理论仍是一个开放且困难的问题。此外，将理论推广到分布时滞或状态依赖时滞等无限维情形，以及研究反馈控制和鲁棒性，是未来的重要研究方向。

总之，本文为具有时变状态和控制时滞的线性分数阶微分系统建立了可控性和最小能量控制的理论框架。主要贡献包括引入了分数阶可控性格拉姆矩阵、证明了时滞不变的可控性秩条件、给出了最小能量控制的闭式解、提供了可行的数值方法，并通过算例和应用展示了其价值。这项工作为后续研究，如非线性分数阶时滞控制、无限维分数阶系统以及鲁棒和随机控制等问题，奠定了严格的教学和计算基础。