分数阶时滞系统的可控性与最小能量控制：理论框架与算法实现

《Fractal and Fractional》：Solvability, Ulam–Hyers Stability, and Kernel Analysis of Multi-Order σ-Hilfer Fractional Systems: A Unified Theoretical Framework

本文提出线性分数阶时滞系统可控性与最小能量控制的统一理论框架，证明时变状态与控制延迟不改变由矩阵对(F, G, K)决定的代数可控性结构，并给出基于Gramian闭式解的最优控制律，为生物网络（神经网络、基因调控）等具有记忆效应的系统提供新工具。

　　

分数阶微积分基础与问题建模

文章系统介绍Caputo导数（D_t^γ）的物理意义，其核函数(t-s)^-γ赋予近期历史更高权重，体现系统记忆效应。关键数学工具Mittag-Leffler函数E_γ(λt^γ)替代经典指数函数，描述分数阶系统的慢衰减特性。研究针对含时变状态延迟σ(t)与控制延迟ρ(t)的线性系统建立模型，要求延迟函数满足非折叠条件（|ρ'(t)|<1）以保证算子有界性。

显式解表示与可控性算子构建

通过分数阶基本矩阵Φ_γ(t,s)=E_γ(F(t-s)^γ)推导出系统解的显式表达式，将终端状态x(T)分解为自由响应x_free与控制作用Lu的叠加。创新性定义包含延迟通道的可控性算子L，其伴随算子L^*精确刻画延迟控制的能量传播路径。

可控性理论的突破性结论

核心定理证明：当且仅当矩阵对(F, G, K)满足Kalman秩条件（rank[G,FG,...,F^n-1G,K,FK,...,F^n-1K]=n）时，系统完全可控。通过Mittag-Leffler函数的解析展开性质，揭示时变延迟仅改变Gramian数值而不影响代数结构，该结论对生物系统中常见的信号传输延迟（如突触传递）具有普适性。

最小能量控制的闭式解

在Hilbert空间框架下，利用Lagrange乘子法推导出最优控制律u^*(t)=L^*W_T^-1(x_T-x_{free)，其中Gramian矩阵WT定义状态空间的能量度量。该解明确显示延迟通道如何通过积分核函数κ(t,s)参与能量分配。}

数值实现与生物应用验证

开发混合算法：采用截断幂级数与矩阵对角化结合计算Mittag-Leffler函数，Gauss-Legendre求积法近似Gramian积分。在六维黏弹性 actuator 模型和非线性神经网络模型中成功实现控制，证实理论在生物医学工程中的实用性。特别指出线性化方法可用于研究基因调控网络等复杂系统的局部可控性。

局限性与未来方向

当前理论限于线性系统与点延迟情形，对分布式延迟（如细胞信号扩散）和非线性全局可控性尚未解决。建议后续研究结合无限维系统理论拓展到分数阶偏微分方程系统，为生物系统中的长程关联现象建模提供新范式。