深度学习已经彻底改变了计算力学，为复杂的工程挑战（如应力场预测和拓扑优化）提供了有效的数据驱动解决方案[[1], [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11], [12], [13], [14]]。其中，物理信息神经网络（PINNs）通过将控制方程直接嵌入神经网络架构中（通过自动微分）成为一种显著的方法[[15]]。通过将物理定律编码为软约束，PINNs减少了对大量标记数据集的依赖，并确保解决方案符合基本原理。在测量数据稀疏或噪声较大的情况下，这一能力尤为有利[[16], [17], [18]]。尽管前景广阔，但传统的PINNs在模拟具有急剧梯度的物理场（如应力集中或热弹性不连续性）时面临重大困难，数值不稳定性和过早收敛到局部最小值会显著降低预测准确性[[19], [20], [21]]。
传统PINNs的主要限制在于其单阶段训练范式，该范式构建了一个统一的损失函数，将不同阶数的项（包括位移、应变和应力）耦合在一起。关于PINNs的许多理论研究集中在数学重构和优化保证上，但很少涉及训练动态。在梯度陡峭的区域，这种无差别的耦合加剧了低阶项（例如位移）和高阶项（例如应力）之间的不平衡，导致优化过程不稳定并阻碍收敛，正如第2.1节所展示的。之前尝试解决这些挑战的方法（如簇采样[[21]]、弱形式或离散形式[[22], [23], [24], [25], [26]]、混合形式[[27,28]]或域分解[[29], [30], [31], [32]]）通常会增加计算复杂性或通用性有限。顺序训练策略[[28,33,34]]主要关注训练过程，但没有特别考虑不同阶数损失项的耦合问题。其他方法，包括后处理校正或替代模型[[35], [36], [37], [38], [39], [40]]，会破坏严格的物理一致性所需的端到端可微框架。因此，一个关键挑战仍然是：如何在保持数值鲁棒性的同时，实现具有局部急剧梯度的物理场的稳定和高分辨率重建？
为了解决这一挑战，我们提出了一种多阶段优化策略，根据微分阶数分离损失成分并依次进行训练。核心创新是一种分层训练范式，在初始训练阶段强调低阶项（例如位移场），然后逐步引入高阶物理（例如应力平衡）。这种结构反映了物理系统的自然层次结构，使网络能够首先近似全局场趋势，然后再精细化由高阶导数控制的局部特征。在此背景下，该方法首先训练出一个具有改进泛化能力的预训练模型，随后利用完整的物理信息对其进行微调。
此外，我们整合了自适应归一化技术来平衡耦合变量的幅度，减少优化过程中的梯度冲突。通过改进训练流程而不是改变网络架构，该方法与现有的PINN框架兼容，同时显著提高了鲁棒性和收敛效率。实验结果表明，所提出的框架解决了传统PINNs中的不稳定性问题，并在重建局部场变化方面实现了高保真度。这一进展使得深度学习能够在关键工程应用中发挥作用，例如裂纹尖端分析或热冲击建模，这些应用中对急剧梯度的准确表征至关重要。
