非线性波动方程的精确行波解：雅可比椭圆函数展开法在SMCH和修正BBM方程中的应用

《Frontiers in Physics》：Exact soliton solutions of the modified simplified Camassa–Holm and modified Benjamin–Bona–Mahony equations via the subsidiary ODE method

本文系统应用雅可比椭圆函数展开法，成功求解了对称正则长波方程（SMCH）和修正Benjamin-Bona-Mahony方程（mBBM）两类重要非线性波动方程。研究通过行波变换将偏微分方程（PDE）化为常微分方程（ODE），并构造了包含暗孤子、亮孤子、奇异孤子及周期解在内的12族精确解析解。通过三维曲面图、等高线图和二维剖面图生动展示了孤子波的时空演化特性，深刻揭示了非线性项（αU2Ux）与色散项（Uxxx）之间的平衡机制，为理解流体力学、等离子体物理等领域中的非线性波传播现象提供了重要的理论工具和解析基础。

　　

1 引言

非线性波动方程在描述流体动力学、等离子体物理和光学等领域中的复杂现象时扮演着核心角色。其中，对称正则长波（SMCH）方程和修正Benjamin-Bona-Mahony（mBBM）方程是两类重要的模型。SMCH方程的形式为U_t+ 2αU_x- βU_xxt+ 3βU²U_x= 0，它刻画了具有弱色散效应的非线性波传播。而修正BBM方程的形式为U_t+ U_x- αU²U_x+ U_xxx= 0，常用于模拟浅水波等物理过程。寻求这些方程的精确解，特别是具有粒子性的孤子解，对于理解非线性系统的内在规律至关重要。雅可比椭圆函数展开法因其能系统性地生成周期解和孤子解而成为一种强有力的解析工具。

2 SMCH方程的精确孤子解

2.1 问题表述与行波约化

研究首先对SMCH方程进行行波变换，令U(x,t) = U(ξ)，其中ξ = x - ωt，ω是波速。将此变换代入SMCH方程，并积分一次（积分常数设为零），得到关于旅行波变量ξ的常微分方程： (2α - ω)U - βωU″ + βU³= 0。这一步骤将求解偏微分方程的问题转化为求解一个更易处理的常微分方程。

2.2 雅可比椭圆函数展开法

应用齐次平衡原则，确定解的形式为U(ξ) = a₀+ a₁ψ(ξ)，其中ψ(ξ)满足辅助方程(ψ′)²= h₀+ h₂ψ²+ h₄ψ⁴和 ψ″ = h₂ψ + 2h₄ψ³。这里的h₀, h₂, h₄是常数，ψ(ξ)是雅可比椭圆函数，其模数j决定了函数的性质（当j→1时退化为双曲函数，对应孤子解；当j→0时退化为三角函数，对应周期解）。

2.3 案例分析与解的分类

通过将假设解代入约化后的方程，并令ψ(ξ)的各次幂系数为零，得到一组关于a₀, a₁, h₀, h₂, h₄以及波速ω的代数方程组。求解这些方程组，并选择不同的参数组合（对应于雅可比椭圆函数sn, cn, dn, ns, nc, nd, sc, sd, cs, cd, ds, dc），研究者系统性地导出了12族精确解。

例如，Case 1中，假设参数h₀= v²D², h₂= -v²(1+j²), h₄= v²j²/D²，则辅助方程的解为ψ(ξ) = D sn(vξ, j)。进而得到SMCH方程的一族解：U₁(ξ) = ±2vj √[-3α/(β(v²+v²j²+1))] sn(vξ, j)，其中ω = 2α/(v²(1+j²)+1)。当模数j趋于1时，雅可比椭圆函数sn退化为双曲正切函数tanh，该解退化为典型的暗孤子解：U₁(ξ) = ±2v √[-3α/(β(2v²+1))] tanh(ξ), ξ = x - 2αt/(2v²+1)。暗孤子在均匀背景上表现为一个局域的密度下陷。

其他案例分别产生了亮孤子（如Case 2, 3，函数形式为sech）、奇异孤子（如Case 4, 5，函数形式为csch, csc）以及各种形式的周期解。每个解都明确给出了其存在的参数条件以及波速ω的表达式。

2.4 解的物理诠释与图示

为了直观展示这些解析解的物理图像，研究利用数学软件绘制了三维曲面图、等高线图和二维剖面图。图像清晰显示了暗孤子（密度谷）、亮孤子（密度峰）和奇异孤子（具有奇点）的时空传播特性。等高线图清晰地描绘了能量的传播路径，强调了孤子碰撞后保持形状不变的非线性特性。这些图像生动地说明了SMCH方程所描述的非线性波动的多样性。

3 修正BBM方程的精确孤子解

研究接着将雅可比椭圆函数展开法应用于修正BBM方程。类似的步骤被采用：首先进行行波变换U(x,t) = U(ξ), ξ = x - ωt，代入方程并得到：(1-ω)U′ - αU²U′ + U? = 0。积分一次后得到：(1-ω)U - (α/3)U³+ U″ = 0。

采用相同的解假设U(ξ) = a₀+ a₁ψ(ξ)，并代入上述方程。通过平衡非线性项U³和最高阶导数项U″，再次确定了解的形式。随后，通过比较ψ(ξ)各次幂的系数，得到代数方程组并求解参数。研究同样为修正BBM方程导出了多组精确解，包括孤子解和周期解，这些解的形式与SMCH方程的解类似，但具体系数和存在条件由修正BBM方程自身的参数（α和ω）决定。

4 结论与讨论

本研究成功地将雅可比椭圆函数展开法应用于SMCH和修正BBM方程，系统性地构造了丰富的精确行波解，包括暗孤子、亮孤子、奇异孤子以及周期解。图示分析直观地验证了这些解的波形和传播特性。该方法显示了其在处理非线性发展方程方面的有效性和通用性。所获得的精确解不仅深化了对这些特定方程所描述物理现象的理解，而且为研究其他非线性模型提供了可借鉴的解析框架。这些结果在流体动力学、非线性光学等领域具有潜在的应用价值。未来的工作可以集中于研究这些孤子解的稳定性以及它们之间的相互作用。