《Neural Networks》：VENI, VINDy, VICI: a generative reduced-order modeling framework with uncertainty quantification
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本研究针对高维非线性动力系统传统降阶建模中物理一致性缺失与不确定性量化不足的瓶颈问题，提出融合变分自编码器（VAE）与稀疏识别（SINDy）的物理生成式建模框架。通过变分编码（VENI）提取潜变量、变分动力学识别（VINDy）构建概率性方程、变分推理（VICI）生成带可信区间的预测，在R?ssler系统、MEMS谐振器等案例中实现了噪声环境下动力学方程的稀疏识别与不确定性传播的精准刻画，为复杂系统可解释建模提供了新范式。
在科学与工程计算领域，对偏微分方程（PDE）描述的高维复杂系统进行高效仿真与预测始终是核心挑战。传统数值模拟方法虽精度高但计算成本巨大，尤其在参数优化、不确定性量化（UQ）等需反复求解的场景中难以实用。降阶模型（ROM）通过寻找低维流形近似原系统，可大幅提升计算效率，但传统ROM严重依赖已知物理方程，在方程不明确或噪声干扰时泛化能力有限。更棘手的是，数据驱动的ROM虽能直接从观测数据学习动力学，却普遍缺乏物理一致性保障与不确定性量化能力，导致在安全敏感领域（如航空航天、生物医学）的应用受限。
为攻克这一难题，Paolo Conti等研究者在《Neural Networks》发表论文，提出名为“VENI, VINDy, VICI”的物理生成式建模框架。该研究瞄准两个关键目标：一是构建能从高维噪声数据中提取物理一致低维表示的生成模型，二是在概率框架下识别系统控制方程并实现可靠的不确定性传播。其创新性在于将变分自编码器（VAE）的表示学习能力与稀疏动力学识别（SINDy）的方程发现功能相结合，通过变分推理统一优化维度约简、动力学辨识与UQ三项任务。
研究团队设计了三阶段流水线：VENI（变分噪声输入编码）使用VAE将高维噪声数据映射为高斯潜变量分布，实现连续平滑的潜空间表征；VINDy（变分非线性动力学识别）扩展SINDy为概率版本，用拉普拉斯先验促进方程稀疏性，直接学习潜变量导数的分布参数；VICI（带可信区间的变分推理）通过采样潜变量与动力学系数分布，生成含不确定性区间的全场预测。三模块联合训练时，通过重构损失、KL散度与动力学一致性损失的多目标优化，确保潜变量既保留数据特征又服从简明的动力学规律。
关键技术方法涵盖：①基于多层感知机的编码器-解码器网络结构，潜空间维度n?N（原系统维度）；②多项式函数库构建潜变量动力学方程，采用重参数化技巧实现随机梯度下降；③针对二阶动力系统（如MEMS谐振器）的加速度一致性约束；④基于概率密度函数阈值的后处理稀疏化策略，保留小幅度关键项。
2.3 变分非线性动力学识别（VINDy）
通过二阶多项式函数库拟合潜变量导数，结果显示R?ssler系统在20%噪声下仍能准确识别2项与α1z2等关键非线性项。在MEMS谐振器案例中，方法自动发现符合杜芬方程的正常形式：z?=–ω02z–2ξω0?–γz3–αFcos(ωt)，其中线性系数ω0（自然频率）、ξ（阻尼比）的估计误差<5%。
2.4 离线训练与稀疏促进
联合优化目标函数包含五项加权损失：重构误差、潜变量后验KL散度、潜动力学误差、系数后验KL散度、全场动力学一致性误差。采用PDF阈值化（阈值τ=1.9）进行系数筛选，成功剔除冗余项同时保留幅值小但物理关键的外力项（如MEMS中的Fcos(ωt)项）。
2.5 变分推理与可信区间（VICI）
在线预测阶段从编码器后验采样潜初始条件，结合VINDy系数分布生成100条轨迹集合。在反应-扩散系统测试中，时间外推至训练时长2倍（T=40）时，95%置信区间仍包络真实解，空间模态相位误差<0.1rad。
3.1 R?ssler系统验证
在混沌系统识别中，方法对混合噪声（模型参数噪声λα=0.2+测量噪声λε=0.1）表现出强鲁棒性，潜变量z1–z3的动力学方程稀疏度达90%，仅保留7个必要项。
3.2 MEMS谐振器应用
针对双端固支梁谐振器，从7,821自由度有限元仿真数据中提取3维POD模态，进一步压缩至1维潜变量。识别出的动力学方程准确再现硬弹簧效应（γ>0）、主共振频移等非线性现象，谐振峰位置预测误差<3%。
研究通过变分推理框架将不确定性量化自然嵌入动力学识别全过程，突破了传统ROM对清洁数据与完整物理模型的依赖。其核心价值在于：①首次实现潜变量分布与方程系数分布的联合概率建模，使UQ覆盖参数估计与模型选择不确定性；②通过物理约束（如二阶动力学结构）提升生成样本的合理性；③稀疏识别机制保障方程可解释性，为复杂系统机理分析提供新工具。未来工作可拓展至图神经网络编码器、在线自适应学习及临床数据验证，推动物理智能在重大工程决策中的可靠应用。
