《Journal of Advanced Research》：Modeling and analyzing glucose-insulin interactions during diabetes through fractional dynamics in presence of glucagon
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本研究针对糖尿病代谢紊乱的复杂调控机制，提出了一种创新的分数阶动力学模型。通过引入Atangana-Baleanu-Caputo（ABC）分数阶导数，团队构建了包含胃葡萄糖（G）、肠葡萄糖（Q）、血浆葡萄糖（P）、胰岛素（M）和胰高血糖素（N）的五室模型，首次在分数阶框架下量化葡萄糖-胰岛素-胰高血糖素三角交互关系。研究采用Lyapunov稳定性分析和Ulam-Hyers稳定性理论验证模型可靠性，并利用显式分数阶欧拉法进行数值模拟。结果显示，分数阶导数通过记忆效应更精准地描述了糖尿病进展中的遗传特性和动态延迟，为糖尿病治疗策略优化提供了新视角。
糖尿病作为一种以血糖持续升高为特征的慢性代谢疾病，其发病机制与胰岛素分泌不足或作用障碍密切相关。传统的整数阶微分方程模型在描述葡萄糖调节系统时，往往忽略生物过程中存在的记忆效应和历史依赖性，难以精准捕捉糖尿病进展中的动态延迟现象。这促使研究人员寻求更先进的数学工具来模拟此类复杂生理过程。
近年来，分数阶微积分因其能通过非局部算子描述系统的记忆和遗传特性，在生物医学建模中展现出独特优势。本研究团队基于Atangana-Baleanu-Caputo（ABC）分数阶导数，构建了一个全新的葡萄糖-胰岛素-胰高血糖素交互动力学模型。该模型包含五个关键生理 compartments：胃中的葡萄糖（G）、肠道中的葡萄糖（Q）、血浆葡萄糖（P）、胰岛素（M）和胰高血糖素（N），通过非线性微分方程刻画它们之间的反馈调节。研究旨在通过分数阶框架更真实地模拟糖尿病病理状态下的代谢动态，为疾病机制解析和治疗策略优化提供理论依据。相关成果发表于《Journal of Advanced Research》。
在方法学上，作者主要运用了ABC分数阶导数理论对系统进行建模，采用Lyapunov第二方法分析模型的平衡点稳定性，并通过Ulam-Hyers稳定性理论证明解的唯一性和对参数扰动的鲁棒性。数值模拟部分采用改进的显式分数阶欧拉法进行求解，通过调节分数阶阶数ψ（0<ψ≤1）和关键生理参数（如葡萄糖剂量λ、胰岛素敏感性ζ等），系统评估了记忆效应对系统动态的影响。
模型构建与稳定性分析
通过定义ABC分数阶导数算子，研究团队推导出包含五个状态变量的非线性系统。模型方程量化了葡萄糖从胃到肠道、再到血浆的转移过程，以及胰岛素和胰高血糖素的反向调节作用。通过计算系统平衡点并分析其稳定性，证明在特定参数范围内系统具有唯一的物理意义解。Ulam-Hyers稳定性分析进一步表明，模型解对初始条件和参数变化具备良好的连续依赖性。
分数阶效应模拟
数值模拟显示，分数阶阶数ψ显著影响系统动态：当ψ接近1时，系统行为类似于经典整数阶模型，表现出快速响应和稳定收敛；而当ψ减小（如ψ=0.65）时，记忆效应增强，导致葡萄糖峰值升高、代谢延迟延长。例如，血浆葡萄糖P(t)在低ψ值下呈现缓慢上升和持续高平台期，模拟了糖尿病患者的胰岛素抵抗状态。
参数敏感性验证
通过扰动关键参数（如葡萄糖摄入率λ、胰岛素分泌速率ξ），研究发现胃葡萄糖G(t)和肠葡萄糖Q(t)对λ变化最敏感，而肌肉葡萄糖摄取M(t)和神经调节N(t)响应较弱。这揭示了不同生理 compartment 在血糖调节中的异质性作用，为靶向干预提供了理论依据。
相位轨迹与混沌特征
相位 portraits 显示，随着ψ减小，系统从规则周期振荡向复杂非周期振荡过渡。在特定参数范围内，最大李雅普诺夫指数（LLE）接近零，表明系统存在弱混沌行为，这可能是糖尿病血糖波动不可预测性的数学表征。
本研究通过分数阶建模揭示了葡萄糖稳态调节中的记忆效应和延迟响应，证明了ABC导数在描述生物系统遗传特性方面的优势。模型不仅提供了糖尿病动力学的新见解，还为个体化治疗策略的开发提供了数学框架。未来工作可结合临床数据验证参数，并将模型扩展至网络动力学和多重反馈场景，进一步推动代谢疾病定量研究的发展。
