理解选择性拍卖中的价格形成机制对于解释许多市场中交易者的策略行为至关重要。大多数关于选择性拍卖的理论都假设拍卖开始时竞买者的数量是固定的。进一步假设，在拍卖轮次之间，竞买者数量的变化仅由赢得拍卖的竞买者离开拍卖市场以满足其需求所导致（Bergemann和Said，2010年；Engelbrecht-Wiggans，1980年）。在这些假设下，影响整个拍卖日价格趋势的因素主要限于估值中的共同价值元素比例（Milgrom和Weber，1982年）、拍卖开始时的竞买者数量（Milgrom，1979年；Wilson，1977年）以及可供拍卖的物品数量（Bernhardt和Scoones，1994年；Engelbrecht-Wiggans，1994年）。然而，在实际的选择性拍卖中，竞买者可以自由进出，这违反了竞买者数量固定的假设。
尽管最近的一些理论放宽了这一假设（Coles和Muthoo，1998年；Said，2011年；Taylor，1995年），但它们的预测尚未经过大量实证检验。关键的是，大多数关于选择性拍卖的实证研究缺乏跨拍卖轮次的竞买者数量数据。关于竞争增加对价格影响的实证研究主要基于同时拍卖的案例：债券承销、海上石油租赁拍卖和木材拍卖（Brannman等人，1987年）、失败银行的拍卖（Giliberto和Varaiya，1989年）以及采购合同（Onur等人，2012年）等。这些研究支持了同时拍卖理论中的标准预测，即买方方面的竞争增加会推高购买价格，而卖方方面的竞争增加会压低销售价格。然而，据我所知，还没有研究探讨过竞买者数量较多时的价格与价格之间的关系。
本研究旨在填补拍卖文献中的这一空白，回答选择性拍卖中的价格趋势是否取决于竞买者数量的问题。我提供了证据，表明选择性拍卖中的价格会对竞买者数量产生积极反应，并为选择性拍卖中普遍存在的价格下降异常现象提供了一个迄今缺失的解释。
我分析了Mecum汽车拍卖的数据，发现价格在拍卖日中的变化轨迹反映了竞买者随机出现和离开的趋势。竞买者数量呈现出倒U形曲线，即竞买者数量先增加后减少。价格走势也呈现出类似的形状。在控制了汽车和事件的重要特征后，我发现竞买者数量对价格有统计学上和经济上显著的影
罗伯特·韦伯（Robert Weber）在1983年提出了关于选择性拍卖中价格形成的首个理论。韦伯指出，在风险中性买家持有独立私人价值的相同物品的选择性拍卖中，价格走势应遵循鞅过程。这一结论基于这样一个观点：早期轮次的竞买者会将其出价降低，以考虑参与后续轮次拍卖的选项价值。由于估值较高的竞买者具有更高的选项价值，他们在早期轮次中会更加折现自己的出价。所有等待带来的好处都会被套利掉，因此轮次间的价格是相同的。在价值相关的情况下，Milgrom和Weber（1982年）认为预期价格应该会上涨，因为之前的销售信息减轻了赢家的诅咒，从而促使出价更加激烈。
阿申费尔特（Ashenfelter，1989年）首次引起了经济学界对选择性拍卖中价格下降趋势的关注，他提出了一个基于竞买者风险厌恶的理论，认为早期轮次的竞买者出价中包含了与后续轮次不确定性相关的风险溢价。作为回应，麦卡菲（McAfee）和文森特（Vincent，1993年）认为风险厌恶不能作为价格下降的合理解释，因为他们指出要得出纯策略下的单调出价函数需要绝对风险厌恶不减少，但这与观察到的现实相矛盾。
Bernhardt和Scoones（1994年）提出了另一种理论。这些作者将韦伯最初的“物品相同”假设改为“物品随机相同”。虽然他们同意竞买者应在早期轮次降低出价以考虑参与后续轮次的选项，但他们指出，在物品随机相同的情况下，估值较高的竞买者会赢得早期轮次，从而使得估值较低的竞买者在后续轮次中出价，从而导致价格下降。
其他理论还包括（Engelbrecht-Wiggans，1994年）的观点，他认为早期轮次价格的折现会形成价格上涨的趋势，但这一趋势会被未来轮次中可出价的竞买者数量减少所抵消，最终导致价格总体下降。竞买者数量在价格走势中起着决定性作用。Engelbrecht-Wiggans做出了一个关键假设：随着物品被售出，未来的竞买者数量会减少。如果假设所有竞买者在拍卖开始时都在场，并且每个竞买者的需求量都是相同的，那么每一轮的竞买者数量都会比上一轮少一个。
这些理论都没有考虑竞买者随机出现的可能性。后续的实证测试确实显示了价格趋势的方向，但与理论一样，它们没有将不同拍卖轮次的竞买者数量作为一个因素纳入考虑。显示拍卖日价格下降的实证研究包括牲畜拍卖（Buccola，1982年）、羊毛拍卖（Burns，1985年）、葡萄酒拍卖（Ashenfelter，1989年）、公寓拍卖（Ashenfelter和Genesove，1992年）、商业地产拍卖（Lusht，1994年）、邮票拍卖（Thiel和Petry，1995年）、珠宝拍卖（Chanel和Gérard-Varet，1996年）、毕加索版画拍卖（Pesando和Shum，1999年）、艺术品拍卖（Ashenfelter和Graddy，2003年；Beggs和Graddy，1997年）、鲜花拍卖（Van den Berg等人，2001年）、皮草拍卖（Lambson和Thurston，2006年）、古董拍卖（Ginsburgh和Van Ours，2007年）、鱼类拍卖（Gallegati等人，2011年）以及龙虾拍卖（Salladarré等人，2017年）。关于选择性拍卖中价格上升的实证证据还包括Deltas和Kosmopoulou（2004年）对图书馆书籍的研究、Chanel和Gérard-Varet（1996年）对手表的研究、Jones等人（2004年）对羊毛的研究以及Gandal（1997年）对以色列有线电视的研究。
拍卖理论表明，在同时拍卖中，竞买者数量对中标价格有积极影响。韦伯（Weber，1983年）指出，如果风险中性的竞买者持有独立的私人价值，那么预期中标价格等于竞买者估值样本中的第二高估值，样本越大，中标价格越高。Riley和Samuelson（1981年）表明，在多种拍卖环境中，竞买者数量的增加会对价格产生影响。在共同价值拍卖中，Capen等人（1971年）和Wilson（1977年）指出，中标价格会受到赢家诅咒的影响，即赢家支付的价格高于物品的真实价值，而且中标价格会随着竞买者数量的增加而上升。然而，如果竞买者使用出价策略来规避赢家诅咒，他们可能会根据竞买者数量降低出价，从而推动价格朝相反方向变化（Rothkopf，1969年）。Milgrom和Weber（1982年）将理论推广到同时考虑私人价值和共同价值的情况。如果私人价值占主导地位，或者竞买者不考虑赢家诅咒，那么预期中标价格会随着竞买者数量的增加而上升。Bulow和Klemperer（1994年）进一步指出，额外一个竞买者的价值高于使用最佳拍卖设计的价值。
允许竞买者随机出现的选择性拍卖理论结合了竞买者数量固定的理论以及支付结果随竞买者数量变化的同时拍卖理论。例如，Said（2011年）放宽了竞买者数量固定的假设，允许新的竞买者以一定的概率进入每一轮拍卖。他得出结论，竞买者不仅考虑参与未来轮次的选项，还考虑他们预期的未来轮次中的竞争者数量。价格相对于竞买者数量的方向再次取决于私人价值与共同价值的比例。Taylor（1995）建立了一个模型，其中卖家和竞买者以不同的速率进入市场，并得出结论：等待交易伙伴时间较长的那一方的收益较低。将这一模型应用于选择性拍卖时，意味着剩余待拍卖物品的数量与任何给定时间争夺这些物品的竞买者数量之间存在权衡。竞买者数量越多，卖家可以期望的收益就越高。
这些理论都没有对选择性拍卖中竞买者数量与价格之间的关系给出明确的预测，也没有预测整个拍卖日的价格趋势。本研究试图通过实证方法回答这些问题。
本文的结构如下：第2节介绍了Mecum汽车拍卖的详细信息。第3节展示了数据。第4节分析了价格随时间的变化趋势，第5节讨论了竞买者对价格的影响，第6节总结了研究结果。
