《Journal of Theoretical Biology》：On the dynamics of antigen receptors on the B-cell membrane through a two-dimensional stochastic process
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本文针对B细胞表面受体（BCR）在抗原刺激下的动态变化，构建了一个二维连续时间马尔可夫链模型，描述了自由受体（X(t)）、抗原结合受体（Y(t)）和潜在受体（M-X(t)-Y(t)）之间的随机转换过程。研究人员通过求解概率母函数（PGF）的偏微分方程，精确推导了系统的一阶和二阶矩的解析表达式，揭示了受体群体在不同抗原流入速率（u）下的稳态行为和时间演化规律。该研究为定量理解B细胞抗原识别的早期动力学事件提供了重要的理论框架，对免疫应答的建模与调控具有指导意义。
在适应性免疫应答的舞台上，B淋巴细胞扮演着抗体生产的关键角色，其功能发挥始于细胞膜表面B细胞受体（B Cell Receptor, BCR）对特异性抗原的识别。这一初始结合事件会触发一系列复杂的下游信号传导，最终导致B细胞的活化、增殖和抗体分泌。然而，在抗原与受体结合的最初瞬间，细胞膜上受体的动态分布却呈现出高度的随机性：每个受体可能处于未被占据的自由状态，也可能与抗原结合形成复合物，或者因内化作用而暂时从膜上消失。这种微观层面的随机波动如何影响群体水平的受体动力学，进而调控B细胞的活化阈值，一直是免疫学家关注的核心问题。
传统的确定性模型往往忽略了这种内在的随机性，难以精确刻画受体数量较少时系统的波动特性。为了解决这一问题，研究人员在《Journal of Theoretical Biology》上发表论文，引入了一个创新的随机过程模型来深入探究B细胞受体的动态行为。该研究将细胞膜视为一个包含M个相同受体的封闭系统，并将每个受体在任意时刻t的状态划分为三类：自由受体X(t)、抗原结合受体Y(t)以及因内化而暂不可用的潜在受体（数量为M - X(t) - Y(t)）。通过构建一个二维连续时间马尔可夫链，该模型精细地描述了三种状态之间随时间的随机转换，其转换速率由抗原结合速率λ、内化速率ν和复合物解离/再循环速率μ等关键参数决定。
为了分析这一随机系统，研究人员采用了概率母函数（Probability Generating Function, PGF）的方法。他们首先建立了描述系统状态演化的查普曼-科尔莫戈罗夫方程，进而推导出PGF所满足的一个偏微分方程。通过对该方程进行系统性的求解和矩分析，作者成功获得了自由受体和抗原结合受体数量的一阶矩E[X(t)]和E[Y(t)]以及二阶矩的精确解析表达式。这些表达式清晰地展示了受体群体平均值随时间变化的规律，以及其趋于稳态的过程。
本研究的关键技术方法主要包括：构建二维连续时间马尔可夫链模型来刻画受体状态转换；建立并求解与模型对应的概率母函数偏微分方程；运用矩生成函数技术推导系统一阶矩和二阶矩的动力学方程；通过特征值分析法求解常微分方程组，得到矩的显式时间依赖表达式。
3. Results on the moments
3.1. First-order moments of X(t)
研究结果表明，受体群体的平均行为强烈依赖于抗原流入的强度。当抗原流入速率u（或等效地为Λ = λu）较小时，自由受体的平均数量E[X(t)]会随着时间逐渐下降并最终趋于一个非零的稳定值，而结合受体的数量E[Y(t)]则会先上升后下降。值得注意的是，当Λ的值落在特定区间内时，即(√ν - √μ)2< Λ < (√ν + √μ)2时，系统的特征方程会出现复数根，导致矩的表达式中包含指数衰减的三角函数项。这暗示着系统在趋近稳态的过程中可能表现出衰减振荡行为，尽管在实际参数下这种振荡通常因阻尼过大而不明显。此外，当抗原刺激完全消失时，所有受体最终都将回到自由状态，这与细胞的静息情况相符。
3.2. Second-order moments of X(t)
通过进一步计算二阶矩，包括E[X2(t)], E[Y2(t)]和E[X(t)Y(t)]，研究人员得以量化受体数量的波动程度。结果表明，即使在平均值达到稳态后，受体的实际数量仍然会围绕均值持续波动。这种内在的随机性源于各个受体独立且随机的状态转换事件。二阶矩的解析解为评估B细胞抗原识别信号的可靠性提供了重要指标，因为信号传导的效率不仅取决于结合受体的平均数量，也深受其数量波动的影响。
本研究通过严格的随机建模和解析推导，首次提供了B细胞表面受体动力学完整的矩分析框架。所获得的显式表达式揭示了抗原结合速率、内化速率等关键参数如何共同决定受体群体的统计特性。这些结果强调了在分子水平上考虑随机性对于精确理解免疫识别事件的重要性。该模型不仅为解释实验观测数据提供了理论工具，还可进一步拓展用于研究B细胞活化的阈值现象、亲和力成熟过程以及免疫应答的动态调控。这项工作深化了我们对早期免疫识别中随机动力学的认识，为后续理论和实验研究奠定了坚实的基础。
