分数阶强非线性初值问题的全局级数解：最优修正同伦摄动法的单步与多步策略

《Journal of Computational Science》：Single/multi step optimal and modified homotopy perturbation method for strongly non-linear fractional initial value problems: Global series solution

本文提出并系统阐述了最优修正同伦摄动法（OM-HPM）在求解分数阶强非线性初值问题（FIVPs）中获得全局收敛级数解的理论框架与应用效能。该方法通过优化线性算子选择与初始猜测构建，首次实现了分数阶微分方程（FDEs）同伦方法的全局级数解，并建立了包括OM-HPM在内的同伦类方法收敛性充要条件。数值实验表明，单步OM-HPM在求解稳态与混沌分数阶系统时，相较于多步同伦方法（如HAM、HPM）及数值方法（如RK4）具有更优的全局收敛性与计算效率，为复杂非线性系统的半解析研究提供了新范式。

　　

方法学（Methodology）

设阶数为α的分数阶非线性微分方程组定义为：

N[u(t)] = A(u) - f(t) = 0

其初始条件（I.C.）满足：

I(u, du/dt) = 0

其中u是系统的未知函数，N为非线性算子，A是分数阶α的广义微分算子，f(t)为已知解析函数。

数值演示与模拟（Numerical demonstration and simulation）

继理论研究之后，本节通过数值实验展示所提出的OM-HPM方法在获取全局收敛级数解方面的精度与效率。我们首次聚焦于通过半解析方法明确初值问题（IVPs）及分数阶初值问题（FIVPs）级数解的收敛域，并通过六类强非线性稳态与混沌分数阶系统的算例，与精确解、数值方法及其他半解析方法结果对比，验证OM-HPM的广泛适用性。

多步同伦方法中步长Δt的选择（Choice of step size Δt for multistep homotopy methods）

多步方法本质是各子域上的单步方法。在第n个子域[t_n, t_n+Δt]上，需在t=t_n处给出因变量的初始猜测。如图12所示，最优同伦分析法（HAM）与HPM的单步解在t≤0.1时与四阶龙格-库塔法（RK4）吻合，而OM-HPM的解在t≤0.3时仍保持一致性。这表明多步HAM与HPM在Δt≤0.1时收敛，而在Δt=0.5时发散（图13-15），凸显了OM-HPM在扩展收敛域方面的优势。

结论（Conclusions）

我们应用最优修正同伦摄动法（OM-HPM）获得了在全域有效的分数阶初值问题（FIVPs）半解析级数解。研究表明，OM-HPM中的最优线性算子不仅依赖于方程、初始条件及参数，还受分数阶导数阶数α的影响，从而更具问题适应性。