基于微分包含的单层递归神经网络求解非光滑区间值优化问题的研究

《Neurocomputing》：A one-layer neural network for nonsmooth interval-valued optimization

本文提出了一种新型单层递归神经网络（RNN），通过微分包含形式解决带有混合约束的非光滑区间值优化问题（IVOP）。该模型采用中点-半径转换将区间目标函数转化为确定性等价形式，并引入显式投影机制处理等式约束，无需惩罚参数或拉格姆日乘子即可实现参数调优。理论证明网络轨迹可在有限时间内收敛至可行集，且当设计增益超过问题相关下界时能保证最优解收敛。数值实验表明该方法在基准问题和静态博弈中优于传统投影次梯度方法。

　　

亮点

（设计创新性）本研究提出了一种通过微分包含控制的单层神经网络（NN），采用显式投影机制强制执行等式约束，并通过中点-半径重构处理区间目标函数，无需拉格朗日乘子或惩罚参数。

（假设与适用范围）相较于全局凸性要求，我们仅需可行集和等式流形上的集式凸性与局部Lipschitz正则性，允许在集合外部出现非凸行为，显著放松了现有神经动态模型的有界性条件。

（可计算的有限时间与收敛保证）我们推导出到达等式约束集的可计算时间上界，并给出可验证的增益条件_γ> γ₀，确保有限时间内进入可行集并收敛至最优解（在温和分离条件下可实现有限时间最优性）。同时提供了估算增益下界的实用方案。

理论分析

本节全面分析所提出神经网络的稳定性特性与区间值优化问题的最优性条件。定义非光滑障碍函数V(x) = |h(x)| + ∑[g_i(x)]₊，其广义梯度?V(x)具有分段结构。将神经网络重构为微分包含形式? ∈ -γ?V(x) - ?f(x)后，我们证明：平衡点（EP）需满足0 ∈ γ?V(x) + ?f(x)，等价于存在可测函数选择使系统静止。通过双侧相乘分析，进一步建立有限时间收敛性与李雅普诺夫稳定性。

仿真结果

采用四阶龙格-库塔（RK4）和前向欧拉法进行数值仿真，结合可行域分析验证所提神经网络模型能收敛至非光滑区间值优化问题的最优解。示例1中非凸非光滑函数经中点-半径转换后，虽存在传统神经网络（NN）难以处理的结构，但新模型仍表现出优越的收敛性和鲁棒性。

结论

本文提出的基于微分包含的单层递归神经网络（RNN）成功解决了带混合约束的非光滑区间值优化问题（IVOP）。中点-半径表征机制为平衡最优性与鲁棒性提供清晰路径，显式投影设计避免了复杂参数调整，为不确定性环境下的优化问题提供了新思路。