多自由度Duhem滞回系统在宽带随机激励下的响应分析与可靠性评估新策略

《Reliability Engineering & System Safety》：Response and reliability of MDOF Duhem hysteretic system excited by wideband random excitations

本文针对工程结构中普遍存在的滞回非线性现象，提出了一种结合等效线性化与随机平均法的创新分析方法，有效解决了多自由度（MDOF）Duhem滞回系统在宽带随机激励下的动态响应与可靠性评估难题。该方法通过将复杂的滞回恢复力分解为等效刚度与阻尼，实现了系统降维，并推导出平稳响应及系统可靠性（包括条件可靠性函数CRF和平均首次穿越时间MFPT）的解析解。通过两个数值算例（含蒙特卡洛模拟验证）证实了该方法的精确性与工程适用性，为结构疲劳评估与安全设计提供了重要理论工具。

　　

Highlight

多自由度滞回系统的动力学方程

在服役期间，工程结构常承受随机外部荷载。这类荷载具有不确定性、时间相关性和复杂性，可能显著影响结构的可靠性、耐久性和安全性[[1], [2], [3]]。这些荷载，包括风载[4,5]、地震作用[6]和路面激励[7]，通常表现出宽广的频域分布，涵盖多个频率成分或跨越较宽的频率范围[[8], [9], [10]]。研究宽带随机激励对结构的影响，能更精确地预测结构在复杂环境下的动力学响应，这对于抗风设计、抗震设计或其他工程设计具有重要意义。工程结构中常用的材料，如混凝土、橡胶和智能材料，表现出显著的滞回特性[[11], [12], [13], [14]]。因此，滞回非线性是工程结构的一个重要特征。当承受随机激励的工程结构被建模为具有滞回恢复力的非线性多自由度（MDOF）系统，并承受宽带随机激励时，其动力学理论分析变得异常复杂。

滞回恢复力的等效效应

由于其复杂性，滞回恢复力在分析上难以处理。常用的方法是使用等效方法，将滞回力近似为阻尼力和弹性力的等效组合。这主要包括两种方法：

随机平均法

当 ε=0 时，系统（14）简化为可积的哈密顿系统。假设系统满足以下条件：（i）g(b)=0；（ii）存在 q_r> b 使得 g(q_r) ≠ 0 且 U(q_r) > 0；（iii）存在 q_l< b 使得 g(q_l) ≠ 0 且 U(q_l) = U(q_r)；（iv）对于所有 q ∈ (q_l, q_r)，满足 U(q) < U(q_r)，则系统在平衡点 (b,0) 附近存在周期解 [15]：

q_i(t) = a_icos ?_i(t) + b_i, p_i(t) = -a_iν_i(a_i, ?_i) sin ?_i(t),

?_i(t) = γ_i(t) + θ_i,

其中 a_i, ?_i, γ_i, θ_i分别是振幅、相位、相位...

条件可靠性函数（CRF）与平均首次穿越时间（MFPT）

首次穿越问题是随机动力学和可靠性工程中的一个基本挑战，重点是确定系统响应首次超过临界阈值的时间。这个问题对于工程安全评估、寿命预测和风险控制具有重要意义。关键方面涉及计算阈值穿越率或极值概率分布。由于极端事件通常发生在较短的时间尺度内，其统计...

例1

考虑一个具有滞回恢复力并承受宽带随机激励的单自由度（SDOF）Duffing-van der Pol 振子，其运动方程为：

? + (-λ₁+ λ₂X²) ? + ω_n²X + αX³+ μf(X, ?) = W(t).

其中 ω_n> 0，α 是Duffing刚度系数，用于衡量非线性刚度强度；λ₁, λ₂> 0 是van der Pol自激阻尼参数；εμf(X, ?) 是滞回恢复力，ε 是小参数。W(t) 是具有如下形式功率谱密度（PSD）的宽带随机激励：

S(ω) = D / [π(ω²+ Ω²)].

例2

为了展示所提出方法的潜在工程应用，我们考虑图8所示的结构。该结构包含两个具有独立自由度（上层位移X₁和下层位移X₂）的耦合振子，其中两个振子分别承受独立的宽带噪声和非线性阻尼力，同时通过滞回材料耦合。这种具有滞回能量耗散设计的双层相对运动的关键功能是...

结论

本文开发了一个理论框架，用于分析承受宽带随机激励的具有Duhem滞回特性的多自由度（MDOF）系统的非线性随机动力学。关键结论包括：

所提出的方法通过等效滞回力处理和基于随机平均法的降维，能够准确预测具有Duhem滞回的MDOF系统的平稳响应，同时在降阶模型中保持了基本的动力学特性。通过...