针对具有参数分数阻尼器的非线性振荡器，采用分析性分数匹配方法高效确定其随机响应特性

《Mechanical Systems and Signal Processing》：Analytical score matching for efficient stochastic response determination of nonlinear oscillators with parametric fractional dampers

非线性振荡器在参数分数阻尼与白噪声激励下的非稳态响应概率密度函数研究，提出融合随机平均与得分匹配的解析方法，通过转化福克-普朗克方程为连续方程实现响应分布的解析推导，数值验证显示该方法高效准确，并揭示分数导数阶数对系统动力学及响应分布的显著影响。

　　

Ketson R.M. dos Santos | Jo?o G.C.S. Duarte

明尼苏达大学土木、环境与地球工程系，500 Pillsbury Drive S.E.，明尼阿波利斯 MN，55455-0116，美国

摘要

在工程应用中，机械和结构系统经常受到参数激励的影响——这些激励是由于流体性质变化或颗粒粘附等现象导致的质量、阻尼或刚度的波动。无论是确定性的还是随机性的激励，都可能引发混沌运动、不稳定性和随机共振，从而影响系统的可靠性。分析这类系统特别具有挑战性，因为必须同时考虑外部激励和参数激励，而用于模拟粘弹性效应的分数阶导数项进一步增加了非线性振子中不确定性传播的复杂性。本文介绍了一种分析性得分匹配方法，用于评估装有参数分数阻尼器的非线性振子在白噪声激励下的响应幅度的非平稳概率密度函数（PDF）。该方法采用随机平均来推导控制振幅动态的随机微分方程，并将相关的福克-普朗克方程重新表述为连续性方程。这种表述方式能够沿着等概率轨迹追踪振幅演变，从而恢复响应幅度的时变PDF。对线性和杜芬振子进行了数值研究。结果表明，分数阶导数的阶数通过同时影响阻尼和刚度来显著影响系统动态，进而塑造响应分布。与蒙特卡洛模拟的比较证实了所提出方法的准确性和计算效率，展示了其作为分析具有参数和分数效应组合的随机动力系统的强大工具的潜力。

引言

受到水平和垂直组合运动影响的结构[1]、湍流中的空气弹性系统[2]、火箭燃料箱中的液体晃动[3]、微纳谐振器的动态[4]以及在大海中摇晃的船舶[5]，都是其位移受到质量、阻尼或刚度等系统参数随机波动影响的机械和结构系统的例子。这些波动被称为参数激励，可能由多种机制引起，包括颗粒粘附、平流或流体性质的变化[6]、[7]、[8]。参数激励通常被分为确定性和随机性两类；然而，某些确定性系统可能会表现出类似随机性的混沌运动[9]。这种激励可能导致复杂现象，包括不稳定性和随机共振[6]、[10]，这两种现象都会强烈影响机械和结构系统的长期行为和可靠性。 然而，确定受到随机参数激励的系统响应是具有挑战性的，因为需要同时处理外部激励和参数激励。此外，控制方程中存在的分数阶导数项（详见[11]）通常用于模拟粘弹性材料的非局部行为，这会显著影响系统响应概率密度函数（PDF）的形状。使用分数阶导数来克服经典局部本构模型的局限性——特别是在捕捉微观材料行为方面——已在多个研究领域受到广泛关注[12]、[13]、[14]、[15]、[16]。这些算子已被用来推广强非局部模型，这些模型依赖于积分形式的态变量来定义本构关系和控制动态[17]、[18]。它们的固有记忆效应被认为能够高保真地再现粘弹性响应[19]。此外，已经表明，适当的分数阶导数算子函数展开能够对其对稳态系统响应PDF的贡献进行解析表征，该PDF是福克-普朗克方程（FPE）的平衡解[20]、[21]。 此外，估计受到外部和参数随机激励的具有分数阶导数项的非线性振子的随机响应在理论和计算上都具有重大挑战。虽然蒙特卡洛模拟可以提供对底层动态的详细洞察，但其计算成本往往很高，特别是对于具有记忆效应的系统。因此，在适当的建模假设下，半解析技术提供了一种吸引人的替代方案，可以提供响应PDF的封闭形式或渐近精确近似[22]。在这些技术中，随机平均作为一种强大的工具，用于近似在宽带激励下的轻度阻尼振子的动态。通过将原始系统简化为近似的马尔可夫过程，随机平均能够显著降低维度：动态用一对一阶随机微分方程来表示，这些方程控制响应幅度和相位的演变。然后可以求解与幅度过程相关的稳态福克-普朗克方程，以获得系统响应的解析近似PDF[23]。 另一种方法受到最近将测度传输与FPE联系起来的进展的启发，将FPE重新表述为传输方程[24]，也称为概率流方程。在生成建模方面的最新进展，特别是基于得分的扩散方法，表明替代模型可以近似传输方程的速度场，或者等效地，近似得分函数（对数密度的梯度）[25]。在这方面，Hyv?rinen在[26]中引入了得分匹配框架，其目标是通过最小化替代模型的对数密度梯度与真实数据对数密度梯度之间的期望平方距离来估计PDF。这种方法后来被扩展到基于扩散的生成模型[25]和正则化流[27]。Maoutsa等人[28]应用得分匹配来求解基于相互作用粒子系统的平均场极限的FPE，其中相互作用由对数密度的梯度决定。此外，Shen等人[29]提出了基于FPE自洽性质的速度场的近似解。为了解决高维FPE中的维数灾难问题，最近引入了一种拉格朗日方法[30]，该方法只需要在一组演化样本的位置上局部估计量，从而在计算上高效且在解析上可行。

为了解决上述挑战，并阐明分数阶导数对受到外部和参数激励的振子响应PDF的影响，本文提出了一种新颖的方法——称为分析性得分匹配——该方法结合了随机平均和得分匹配来近似装有参数分数阻尼器的非线性振子的非平稳响应PDF。还详细分析了阻尼器对稳态响应PDF的影响，并以封闭形式表达，以确定出现重尾分布的条件。最后，使用蒙特卡洛模拟数据来验证估计PDF的准确性。

动态建模

对受到参数激励的系统的随机分析是基于对各种物理现象的观察，例如大型固定海上结构的缓慢漂移运动[31]、暴露在阵风中的风-结构相互作用[32]、[33]、[34]以及介质性质的波动[35]、[36]。一些研究已经考察了参数刚度对具有整数[37]、[38]和分数[39]阻尼的振子的影响；然而，详细的

通过分析性得分匹配确定非平稳随机响应

解析确定FPE的时变解是一项具有挑战性的任务，通常需要数值或半解析方法。例如，[46]采用了Galerkin方案来近似控制非线性振子响应幅度演变的FPE的时变解。在本文中，提出了一种基于得分匹配概念的替代方法[30]。为此，首先将FPE重新表述为连续性方程，即：

数值示例

考虑以下运动方程的振子作为一个示例：

数值示例

考虑以下运动方程的振子作为一个示例：$\stackrel{?}{x}+C_{\alpha }+\rho u)D_t^{\alpha }\left(x\right)+{\omega }_n^{2}x+?g\left(x\right)=w\left(t\right)$ 其中 是控制非线性程度的参数。

本节中呈现的数值结果是使用以下参数获得的：${\omega }_2^{}=10$$C_{\alpha }=0$$S_0=C_{\alpha }{\omega }_2^{}/\pi$。我们考虑了参数 ${\rho }^2$（0.05 和 0.25）的两种情况。数值分析分为两部分。首先，我们通过将方程（21）中的PDF与从5000次蒙特卡洛模拟估计的PDF进行比较来评估其准确性

结论

本文研究了受到白噪声激励的具有参数分数阻尼的非线性振子中不确定性传播的量化问题。这个问题在推导响应幅度PDF的解析近似方面存在重大的理论和计算挑战

CRediT作者贡献声明

Ketson R.M. dos Santos：撰写——原始草稿、可视化、验证、监督、软件、方法论、调查、形式分析、数据管理、概念化。Jo?o G.C.S. Duarte：撰写——审阅与编辑、撰写——原始草稿、调查、数据管理。

利益冲突声明

作者声明他们没有已知的竞争性财务利益或个人关系可能会影响本文报告的工作。