高阶非标准线性多步法特性解析：精度保持与定性性质守恒研究

《Mathematics and Computers in Simulation》：An insight on some properties of high order nonstandard linear multistep methods

本文深入探讨了高阶非标准线性多步法(NSLMM)的核心特性，通过构建非标准泰勒级数证明了其在满足特定条件下能达到与传统方法相同的精度阶(order)，并首次系统分析了该方法对微分方程关键定性性质（如有界性、单调性）的步长无保持性(step-size independent preservation)。研究通过一维方程及方程组验证了理论，为复杂生命系统动力学模拟提供了强稳定性保持(SSP)新工具。

　　

^研究亮点

本文聚焦非标准多步法的两大核心贡献：精度阶验证与定性性质保持。通过创新性构建非标准泰勒级数（Lemma 1），首次建立非标准方法与标准方法精度等价性的充要条件。在性质保持方面，证明该方法可无条件维持解的有界性、分量线性组合守恒及类单调性等关键特征。

^主要成果

第三节系统呈现两大核心定理：1）通过分母函数φ的约束条件（C1-C3），证明非标准多步法可达任意高阶精度；2）针对具有特定结构的微分方程（如种群动力学模型），数值解能完全复现原系统的定性行为。所有结论均配备严格证明框架。

^{第四节：定理证明解析}

通过将分母函数φ的渐近行为与标准泰勒展开关联，巧妙转化非标准精度分析为经典问题。对于性质保持证明，关键引入强稳定(strongly stable)格式与非标准结构的耦合机制，揭示步长无保持性的数学本质。

^{应用与数值实验}

构建属性保持型非标准多步法的四步流程：1）识别目标微分方程的定性属性；2）结合前向欧拉法设计分母函数；3）验证精度阶条件；4）通过线性多步框架实现离散化。以Logistic增长方程和化学反应网络为例，数值实验显示该方法在保持种群正性与能量守恒方面显著优于标准方法。

^{结论与展望}

本研究为高阶非标准多步法建立严格理论框架，所提出的非标准泰勒展开工具有望拓展至其他特殊微分方程（如分数阶模型）。未来工作将聚焦于变步长实现与非标准Runge-Kutta方法的协同设计。