《International Journal of Mechanical Sciences》：Failure Mechanisms and Resolution in Deep Energy Method
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本文针对深度能量方法在正向分析和逆向分析中存在的关键失效模式，首次系统揭示了其因数值积分不准确和变分形式未定义导致的发散与崩溃机理，并提出了一种集成有限元正则化和两阶段训练的EINO框架，通过理论证明和大量数值实验验证了该框架在固体力学和扩散问题中的卓越鲁棒性与准确性，为物理约束机器学习提供了可靠解决方案。
在计算力学和科学机器学习交叉领域，求解偏微分方程始终是模拟自然和社会现象的核心任务。传统数值方法如有限元法近年来取得显著进展，而深度学习的兴起为数据驱动的PDE求解开辟了新途径。然而，工程数据集通常稀疏且获取成本高，而物理原理比文本或图像中的统计模式更明确，这推动了对物理信息神经网络的兴趣。PINN通过将PDE残差、边界和初始条件以及观测数据纳入复合损失函数来强制执行物理约束，提供了一个可以无需算法修改即可解决正向和逆向问题的统一框架。
与PINN使用强形式PDE作为损失项不同，深度能量方法利用PDE的泛函、能量或变分形式来推导物理损失。DEM相比PINN具有明显优势：所需网络更小、训练迭代次数更少、对Neumann边界条件的处理更自然。然而，DEM在应用中面临两个关键失效模式：在正向分析中，DEM训练可能因人工能量最小化而发散，损失值突然降低到物理允许最小值以下，伴随灾难性错误；在涉及未知材料参数或Neumann边界条件的逆向问题中，DEM因对其变分形式未明确定义而失败。
为解决这些局限性，研究人员开展了"能量信息神经算子网络"的主题研究。该研究通过系统诊断正向发散和逆向崩溃现象，提供了其起源的严格机理分析；提出了受有限元方法启发的新正则化方法，严格证明了其即使在非常粗糙的网格上也能完全消除物理上不合理正向发散的效力；开发了一种两阶段训练策略，利用DEM的计算效率将物理定律嵌入深度算子网络，在逆向分析中实现未知材料参数和Neumann边界条件的快速准确推断。
研究结果表明，EINO框架能有效解决DEM的失效问题。在正向分析中，EINO即使在不规则网格上也能保持稳定收敛，而DEM会出现损失值暴跌至真实能量最小值以下的非物理情况。在逆向分析中，EINO能准确推断材料参数（如杨氏模量、泊松比）和边界条件，相对误差低于2%（即使在200%高斯噪声下），而DEM则完全失败。通过固体力学和扩散问题的全面基准测试，证实了EINO相对于DEM的优越性。
该研究的重要意义在于阐明的失效机理和EINO框架共同推动了物理约束学习在代理建模和逆向不确定性量化中的应用，最小化了对标记数据的依赖，为科学机器学习在计算力学中的可靠应用提供了新范式。相关研究成果发表在《International Journal of Mechanical Sciences》上。
研究人员采用几个关键技术方法开展研究：首先构建了基于DeepONet的EINO框架，包含分支网络编码输入函数和主干网络编码输出域坐标；其次开发了有限元正则化技术，将神经网络输出约束到有限元解空间；采用两阶段训练策略，离线段学习参数到解的映射，在线段进行逆向分析；使用Adam+LBFGS组合优化器进行网络训练；通过高斯积分进行数值积分计算。
正向发散机理分析
通过一维杆测试表明，DEM失败的根本原因在于神经网络表示中数值积分的不准确性。当神经网络预测的场变量非常复杂时，高斯积分等技术变得不可靠，导致能量泛函被低估至物理不可行的水平。
逆向崩溃机理分析
研究表明，DEM在逆向分析中失败是因为其变分陈述仅针对场变量明确定义了优化问题，而对材料参数和Neumann边界条件的优化没有定义，导致损失函数无下界。
EINO框架设计
EINO通过有限元正则化将神经网络输出投影到有限元空间，确保数值积分的准确性；同时采用两阶段训练策略，离线段学习物理规律，在线段仅需最小化数据损失。
数值验证结果
在悬臂梁和扩散问题上的测试表明，EINO在正向分析中保持稳定收敛，相对误差低于1%；在逆向分析中能准确识别参数，误差显著低于DEM。即使在200%高斯噪声下，EINO仍能保持鲁棒性能。
非线性问题应用
EINO在三维非规则区域上的非线性超弹性问题中也表现出色，验证了框架的广泛适用性。
研究结论强调，DEM的失效模式根源在于数值积分不准确和变分形式未定义，而EINO通过有限元正则化和两阶段训练策略有效解决了这些问题。该框架显著提升了物理约束机器学习的可靠性，为工程和科学计算中的PDE求解提供了新范式。未来工作将集中于多物理场问题扩展和先进神经网络集成。
