非傅里叶热传导理论在周期性复合材料中的多尺度分析与数值模拟

《Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering》：Simulation of effective scale-size dependent heat conduction in rigid microgeometries

本文针对经典傅里叶热传导定律在描述微纳尺度复合材料热输运行为时的局限性，研究团队基于非平衡态热力学框架，引入熵及其梯度作为状态变量，发展了一种包含空间迟滞效应的增强型热传导模型。通过渐近均匀化方法，推导了考虑微观尺度效应的宏观等效热导率张量，并采用B样条有限元法高效求解了伴随的微观单胞问题。研究揭示了微观结构绝对尺寸对等效热性能的显著影响，为精确设计和调控微结构功能材料的热管理性能提供了理论依据和计算工具。该成果发表于《Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering》。

　　

当热量在微电子器件、复合材料或微纳结构中传播时，其行为往往偏离经典的傅里叶定律。特别是在特征尺寸与热载子平均自由程相当的微纳尺度，热流的描述需要超越局部平衡假设，考虑更高阶的物理效应。传统的均匀化理论虽然能有效预测宏观等效性质，但通常隐含了严格的尺度分离假设，即微观结构的绝对尺寸远小于宏观特征长度且远大于内部特征长度（如声子平均自由程）。然而，在许多先进材料中，如周期性复合材料和超材料，微观结构的绝对尺寸本身成为一个关键参数，能够显著调制材料的宏观热输运性能。理解并预测这种尺度效应，对于设计具有特定热管理功能的新材料至关重要。

为了攻克这一难题，发表在《Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering》上的这项研究，从一个扩展的热力学框架出发，对周期性复合材料中的非经典热传导行为进行了系统的多尺度分析和数值模拟。研究团队没有满足于经典的傅里叶模型，而是选择了一条更具挑战性的路径：他们将熵密度及其空间梯度同时作为状态变量，构建了一个包含空间迟滞（spatial retardation）效应的增强型热传导理论。这一理论框架自然导出了一个四阶偏微分方程作为其场方程，比经典的二阶热传导方程能够捕捉更丰富的物理现象，尤其是在微观尺度上。

为了从包含复杂微观结构的材料中提取出有效的宏观行为，研究人员采用了双尺度渐近均匀化方法。这种方法巧妙地将微观尺度的复杂性与宏观尺度的响应联系起来。关键在于引入了一个关键的无量纲参数：滑移长度（slip length, ?_s）与微观结构特征长度（?）的比值。研究重点探讨了?_s?～??这一最具挑战性的“介观尺度”情形，此时微观结构的尺寸效应与高阶本构效应相互耦合，无法被忽略。通过严谨的渐近分析，他们成功地从微观尺度的增强型热方程出发，推导出了宏观尺度的等效控制方程，并给出了通过求解一系列微观单胞问题来计算机等效热导率张量的明确公式。

在数值实现方面，面对四阶微观单胞问题对解函数光滑性的高要求（需要C¹连续性），研究团队没有采用标准的拉格朗日型有限元，而是创新性地应用了双二次B样条（B-spline）有限元方法。B样条基函数天然具有高阶连续性，非常适合于求解此类高阶偏微分方程。他们在周期性单胞区域上构造了B样条空间，并细致处理了周期边界条件，确保了数值解的准确性和效率。

本研究主要采用了以下几项关键技术方法：1）基于熵及其梯度的非平衡热力学建模，构建了包含空间迟滞项的四阶热传导方程；2）双尺度渐近均匀化分析，系统推导了在介观尺度（微观特征长度与滑移长度相当时）下的宏观等效方程和微观单胞问题；3）B样条有限元离散化，用于高效稳定地求解周期性单胞问题，以计算等效热导率张量。所有计算均基于自定义编写的代码完成。

研究结果

1. 理论框架与模型建立

研究人员首先从连续介质热力学的基本定律出发，通过引入熵密度s及其梯度grad?s作为独立的状态变量，建立了系统的内能响应函数。利用克劳修斯-杜亨不等式（Clausius- Duhem inequality）和科尔曼-诺尔过程（Coleman-Noll procedure），他们系统地导出了包含高阶空间导数的本构关系和非局部热流表达式。最终得到的增强型热传导方程包含了由热导率张量K主导的经典扩散项和由空间迟滞张量D主导的四阶项，其形式为：?T₀?s/?t = div(γK·?s - ε2 div(γ?_s2D:??s)) + ?r。该方程为后续的多尺度分析奠定了严格的数学物理基础。

2. 多尺度均匀化分析

通过引入快变量y = x/ε和慢变量x，并对熵场进行双尺度渐近展开s_ε(x) = s⁽⁰⁾(x, y) + ε s⁽¹⁾(x, y) + ...，研究人员将原问题分解为不同量级的方程。分析表明，在最低阶（ε^-2），熵的宏观部分s⁽⁰⁾与快变量y无关，即s⁽⁰⁾= s⁽⁰⁾(x)。在下一阶（ε^-1），则导出了决定一阶校正项s⁽¹⁾的微观单胞问题。该单胞问题是一个定义在周期性单胞Y上的四阶椭圆型偏微分方程，其解可以通过引入向量值的校正器函数χⁱ(y)来表示，使得s⁽¹⁾= χⁱ(y) ?s⁽⁰⁾/?x_i。最终，在ε⁰量级，通过对方程进行单胞平均，得到了宏观尺度上的等效热传导方程，其形式与经典傅里叶定律相似，但等效热导率张量K^eff的表达式包含了微观结构信息和尺度效应的影响，具体为K^eff_ij= (1/|Y|) ∫_YK_ik(y) (δ_kj+ ?χ^j/?y_k) dV_y。

3. 尺度效应的数值验证

为了探究微观结构绝对尺寸的影响，研究团队设计了一系列数值实验。他们考虑了包含m2个相同微观结构的放大单胞Y_m（m=1,2,...）。当m增大时，单胞Y_m的物理尺寸不变，但其中包含的微观结构数量增加，意味着每个微观结构的绝对尺寸按比例缩小（~1/m）。通过数值求解不同m值对应的单胞问题，他们计算了相应的等效热导率张量。结果清晰地表明，等效热导率的值并非恒定，而是随着微观结构绝对尺寸的减小（m增大）而发生显著变化。这一发现直接证实了尺度效应在复合材料热输运中的重要性，表明经典的均匀化理论（其预测结果与尺寸无关）在介观尺度下需要被修正。

4. 数值方法的准确性与收敛性

为确保结果的可靠性，研究人员对B样条有限元法的精度进行了系统评估。他们在具有中心高导热方形夹杂的单胞问题上进行了网格收敛性分析。由于材料属性的间断和重入角（re-entrant corners）的存在，解在角点处存在奇异性，导致其正则性降低。数值结果显示，在H2范数下，误差以约O(h^0.7)的速率收敛，而在L2范数下，收敛速率约为O(h^1.3)。该收敛速率与具有奇异性解的理论预期相符，验证了所用数值方法的鲁棒性和准确性。

结论与意义

本研究成功构建并分析了一个用于描述周期性复合材料中非经典热传导的多尺度数学模型。通过将高阶连续介质理论与渐近均匀化方法相结合，该工作突破了经典傅里叶定律和传统均匀化理论的局限，明确地揭示了微观结构的绝对尺寸对宏观等效热性能的调控作用。

其重要意义主要体现在以下几个方面：首先，在理论层面，它提供了一个严谨的框架，将微观尺度的非局部效应（通过熵梯度体现）与宏观连续介质模型联系起来，加深了对微纳尺度热输运物理机制的理解。其次，在计算方法上，发展的高阶B样条有限元法为高效求解此类具有高阶导数和复杂微观结构的单胞问题提供了可靠工具。最后，也是最重要的，在于其应用价值。该研究表明，通过精心设计微观结构的几何构型和绝对尺寸，可以实现对材料宏观热导率的“定制化”调控。这为开发新一代热管理材料、热隐身器件和高效热能收集系统提供了新的设计思路和理论指导，例如，可以设计具有特定尺寸分布的复合材料，使其在特定方向上呈现极低或极高的等效热导率。

这项工作将高阶连续介质理论、多尺度分析和先进数值计算紧密结合，为解决微纳尺度热科学中的关键挑战提供了有力的支持，标志着在理解和预测复杂材料热性能方面迈出了重要一步。