面向对称性优化的等变量量子近似优化算法：Sd不变混哈密顿量的构建与性能评估

《IEEE Transactions on Quantum Engineering》：Equivariant Quantum Approximate Optimization Algorithm

本文针对量子近似优化算法（QAOA）在解决组合优化问题时性能受限的挑战，提出了一种系统性的方法，用于设计与目标函数对称性（特别是对称群Sd及其循环子群Zd）对齐的混哈密顿量（Mixer Hamiltonians）HM和Hχ。研究通过理论构建与量子电路实现，证明了所提混哈密顿量在边着色和图划分等经典问题上，相较于标准混哈密顿量B = ΣXi，在平均、中位数和最小值等指标上均能获得更接近最优解的结果，展现了利用对称性提升QAOA性能的潜力，为变分量子算法的设计提供了新思路。

　　

在追求量子计算优势的竞赛中，变分量子算法，特别是量子近似优化算法（QAOA），被视为在优化和机器学习等领域展示量子潜力的有力候选者。然而，QAOA的性能深受其核心组件——混哈密顿量（Mixer Hamiltonian）的影响。传统的混哈密顿量选择往往忽略了问题本身固有的对称性，这限制了算法充分利用问题结构以提升性能的能力。如何在QAOA框架内有效融入对称性，设计出能“感知”并“尊重”问题对称性的混哈密顿量，成为提升算法效率的关键科学问题。

为了解决这一挑战，来自加州大学河滨分校、特拉华大学和英伟达公司的Boris Tsvelikhovskiy、Ilya Safro和Yuri Alexeev（IEEE高级会员）在《IEEE Transactions on Quantum Engineering》上发表了他们的研究成果。他们发展了一套系统的方法论，用于构建与经典目标函数对称性（特别是对称群S_d，其中d=2^?以适应基于量子比特的架构）对齐的QAOA混哈密顿量。其核心思想是设计明确适应对称群在希尔伯特空间上作用的QAOA算子。

研究人员重点关注了对称群S_d及其循环子群Z_d。他们成功构造了在完整对称群S_d下不变的混哈密顿量H_M，以及在循环子群Z_d下不变的混哈密顿量H_χ。这些构造的天然之处在于它们尊重了希尔伯特空间在对称群作用下的等变分量分解。特别值得注意的是，基于Z_d不变混哈密顿量H_χ的QAOA协议，其动力学演化（直至最终测量）被完全限制在目标函数对称群的一个非平凡不可约表示内，这为在对称适应的子空间内执行变分算法提供了首个范例。

研究给出了这些混哈密顿量的闭式表达式以及明确的量子电路实现。为了实证评估所提方法，作者在边着色和图划分问题上，比较了使用标准混哈密顿量B与新型混哈密顿量H_M和H_χ的QAOA变体。在多个图实例上的实验结果表明，采用对称性适应的混哈密顿量能够一致地产生更接近最优值的客观函数值，相比经典基线方法取得了统计上显著的改进。此外，文章还探讨了热启动（Warm-start）QAOA性能不佳的根本原因，指出其源于难以构造满足Perron-Frobenius定理且以具有相同目标函数值的经典态叠加为基态的混哈密顿量，这从概念上解释了某些热启动QAOA变体收敛到最优解的困难。

为开展此项研究，作者主要应用了几个关键技术方法：首先，利用群表示理论（特别是对称群S_d和循环群Z_d的表示论）系统性地构建了满足等变性质的混哈密顿量H_M和H_χ。其次，给出了这些混哈密顿量对应的量子电路实现方案，包括多控制相位门等操作。第三，通过数值模拟（使用Qiskit等工具）在边着色（使用多个不同结构的图实例，如Γ₁至Γ₆）和图划分（使用图??）问题上进行了大量（至少50次独立试验）基准测试，并采用统计检验（如Student's t检验）来评估性能差异的显著性。研究设定了QAOA深度参数（边着色p=9，图划分p=7），并利用经典优化器寻找最优变分参数。

A. MIXER HAMILTONIANS WITH S_DSYMMETRY

研究人员引入了一种系统方法，用于构建一个与目标函数对称性（特别是公式(2)定义的对称群S_d的作用对易）的混哈密顿量H_M。他们严格验证了所提出的算子H_M满足Perron-Frobenius定理的条件，并提供了其实现的具体解析公式和相应的量子电路。相比之下，经典混哈密顿量B仅与S_d的一个较小子群（阶为2^?·?!）对易，这凸显了所提混哈密顿量更强的对称性质。

B. Z_D-INVARIANT MIXER H_χAND CONFINEMENT OF QAOA TO A NONTRIVIAL REPRESENTATION

研究还考察了S_d的循环子群Z_d，并构造了与之对易的算子H_χ。该算子的唯一基态|ψ?位于Z_d作用下的希尔伯特空间分解W=?_j=0^d-1W_j中的子空间W_d/2。重要的是，在使用H_χ作为混哈密顿量执行QAOA时，|ψ?的演化在最终测量前始终被限制在W_d/2内。这提供了首个QAOA算法完全在目标函数非平凡对称群的等变成分内运行的例子。

C. BENCHMARKING: NUMERICAL PERFORMANCE COMPARISON

研究评估了使用三种不同混哈密顿量（常规B=∑_iX_i，以及新提出的H_M和H_χ）的QAOA变体性能。基准测试包括不同图族上的边着色和图划分问题。结果表明，在1.5%的显著性水平上，均值存在统计显著差异，且提出的混哈密顿量始终产生更低的均值。此外，使用H_M和H_χ观察到的中位数和最小值也显著低于使用常规混哈密顿量获得的值。

D. OBSERVATIONS ON WARM-START QAOA

文章还讨论了对热启动QAOA变体性能不佳的观察。研究提供了一个概念性解释：缺乏一个同时满足Perron-Frobenius定理假设且以具有相同目标函数值的经典态叠加为基态的算子。这破坏了任何热启动QAOA变体收敛到最优解的保证（即使深度参数p→∞）。因此，某些热启动QAOA变体收敛到最优解完全依赖于经典优化器避免陷入参数集陷阱的能力。

该研究的结论部分强调了如何利用自然的对称性考量来设计全新的QAOA混哈密顿量。在实际方面，提出的混哈密顿量H_M和H_χ在标准组合优化问题的数值实验中展示了切实的改进。观察到的实证改进表明，所提出的对称性适应的混哈密顿量不仅具有理论意义，而且可能导向更资源高效的量子算法，在更浅的电路深度下实现更好的性能。此外，本文开发的方法论有潜力影响更广泛的变分量子算法类别。因此，研究结果不仅为QAOA提供了直接的见解，也为量子算法设计中更广泛的对称性引导策略提供了路线图。值得注意的是，虽然本文的构造目前因实验限制主要针对d=2^?的情况，但将其实现扩展到更一般的量子比特设置是一个有趣的未来方向。