《Mechanical Systems and Signal Processing》：Semi-analytical method to analyse periodic orbits of piecewise linear oscillators
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本文针对具有间隙约束的双自由度碰撞振动系统，提出了一种半解析方法，用于精确求解其周期轨道并分析分岔行为。研究人员通过构建局部映射和全局Poincaré映射，揭示了系统丰富的非线性动力学现象，包括多稳态、鞍结分岔和擦边分岔等。该研究为理解此类非光滑系统的复杂动力学提供了新视角，对机械工程中的冲击振动控制具有重要意义。
在机械工程和结构动力学领域，具有间隙约束的碰撞振动系统广泛存在于实际工程中，如涡轮机械叶片、齿轮传动系统和热交换器管束等。这类系统由于存在非光滑的接触-分离过程，其动力学行为表现出强烈的非线性特性，包括周期运动的失稳、多稳态共存以及混沌振动等复杂现象。传统的数值积分方法虽然能够模拟系统响应，但难以全面捕捉所有可能的周期解，特别是那些不稳定的轨道，而这对于理解系统的全局动力学特性至关重要。
为了解决这一挑战，研究人员在《Mechanical Systems and Signal Processing》上发表了题为“Bifurcation analysis of a two-degree-of-freedom mechanical system with contact and friction”的研究论文，发展了一套半解析方法用于精确分析双自由度碰撞振动系统的周期轨道及其稳定性。该研究通过将系统的相空间划分为不同的线性区域，并在每个区域内利用线性系统的解析解构建局部映射，最终通过组合这些映射来描述全局周期轨道。这种方法不仅能够高效地计算出系统的稳定和不稳定周期解，还能准确识别分岔点，如鞍结分岔（Saddle-Node Bifurcation, SN）和擦边分岔（Grazing Bifurcation, GZ）。
研究的关键技术方法主要包括：1）建立系统的分段线性动力学模型，将运动方程在接触和非接触区域分别求解；2）构建连接不同区域边界的局部映射，并利用解析解形式表示；3）通过组合局部映射形成全局Poincaré映射，并求解其不动点以得到周期轨道；4）计算映射的雅可比矩阵特征值以分析轨道稳定性；5）结合数值方法（如牛顿-拉夫森法）系统性地搜索和验证多种周期解。
4.1 相同振子情况
当两个振子参数完全相同时，系统在模态坐标下解耦为同相和反相运动。研究发现，耦合刚度参数β的增大会导致共振峰向右偏移，出现典型的硬化非线性特性。当β足够大时，会在一定频率范围内出现三个周期-1单碰撞解共存的现象，其中两个稳定，一个不稳定。
4.1.1 耦合刚度的影响
减小耦合刚度β会导致系统响应幅值整体增大，这是因为较软的碰撞条件允许质量块在接触区域内更接近。随着β增大，系统非线性增强，共振峰出现向右倾斜的硬化现象，并在特定参数范围内出现由鞍结分岔产生的多解共存区域。
4.1.2 激励幅值的影响
增大激励幅值f会增强系统响应，在共振峰附近出现三个周期解共存。在低频擦边条件附近，当f ≥ 0.29时，主分支会出现一个回线结构，产生稳定单碰撞解、稳定双碰撞解和不稳定双碰撞解的三解共存区。当f = 0.3时，甚至在窄频率范围内观察到了五解共存的复杂现象。
研究结论表明，双自由度碰撞振动系统具有极其丰富的动力学行为，包括多种周期轨道的共存、复杂的分岔序列以及参数敏感性强等特性。提出的半解析方法能够有效揭示这些非线性现象，为理解和控制此类非光滑动力系统提供了有力工具。该研究不仅深化了对多自由度碰撞系统动力学的理论认识，而且为工程中振动控制和故障诊断提供了重要参考。
