广义特征值稳定化在浸入式显式动力学中的应用：恢复临界时间步长与保持高精度

《Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering》：Generalized Eigenvalue stabilization for immersed explicit dynamics

本研究针对浸入式有限元离散化中因切割单元导致的临界时间步长严重受限问题，提出了一种广义特征值稳定化（GEVS）策略。该方法通过局部操作，在单元层面修正切割单元的质量和刚度矩阵，有效抑制了频谱中的异常高特征值，从而在保持高精度解的同时，恢复了与边界拟合离散化相当的临界时间步长。数值实验表明，GEVS策略在Neumann和Dirichlet边界条件下均能实现最优收敛率，显著提升了浸入式边界方法在显式动力学模拟中的计算效率和鲁棒性。

　　

在工程仿真领域，精确模拟复杂几何结构中的波动现象至关重要，例如声波传播或结构振动。传统上，这需要生成与物理域边界完全贴合的网格，这一过程通常耗时且自动化程度低。浸入式边界方法，如有限胞元法（FCM），提供了一种有前景的替代方案：将复杂的物理域嵌入到一个更简单、易于网格划分的背景域（如笛卡尔网格）中。然而，这种便利性带来了新的挑战——被物理边界切割的单元（即切割单元）会引入数值不稳定性，特别是在使用计算效率高的显式时间积分方法求解波动方程时。切割单元，特别是那些在物理域内支撑很小的单元，会导致系统矩阵出现极端特征值，从而迫使仿真采用极小的临界时间步长，严重制约了计算效率。因此，如何在保持浸入式方法几何灵活性优势的同时，有效克服其带来的数值不稳定问题，成为计算力学领域一个亟待解决的关键问题。

本研究聚焦于解决上述问题，相关成果发表在《Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering》上。为了应对切割单元对显式时间积分的负面影响，研究人员发展了一种称为广义特征值稳定化（GEVS）的新策略。该策略的核心思想是对切割单元进行局部处理，通过低秩修正其质量矩阵和/或刚度矩阵，有选择性地将导致临界时间步长缩减的异常高特征值“拉回”到正常范围内，而不影响那些对求解精度至关重要的低阶模态。研究表明，GEVS能够成功消除频谱中的异常值，同时保持解在频谱低阶部分的高精度。无论是h收敛性分析还是对切割比例渐近变化的考察，结果均证实GEVS能够保持波动传播问题的最优收敛率，并且是所测试方法中唯一能可靠地恢复临界时间步长独立性（即使其与未切割单元相当）并同时保持FCM精度的方法。这些结论对于Neumann边界条件以及通过Nitsche方法或罚函数法弱施加的Dirichlet边界条件均成立。

为开展此项研究，作者主要采用了以下几个关键技术方法：首先，空间离散基于高阶谱单元法（SEM）框架，使用定义在高斯-洛巴托-勒让德（GLL）点上的C⁰连续拉格朗日插值多项式作为基函数，并结合GLL积分规则，从而在未切割单元中获得对角的集中质量矩阵。其次，针对切割单元，采用了有限胞元法（FCM）的基本思想，通过一个指示函数区分物理域和虚构域，并对切割单元使用专门的积分方案（如混合积分），这导致切割单元具有一致质量矩阵。再者，为弱施加边界条件（特别是Dirichlet条件），引入了Nitsche方法。最后，也是本研究的创新核心，即提出了广义特征值稳定化（GEVS）方法，该方法在单元层面求解广义特征值问题，识别并稳定与异常高特征值相关的模态，通过低秩修改系统矩阵来改善系统的稳定性条件。

2. 方法论

本研究考虑定义在d维空间域Ω上的标量波动方程。物理域Ω被嵌入到一个更大的、几何形状简单的扩展域Ω^e= Ω ∪ Ω^f（其中Ω^f为虚构域）中。通过一个指示函数α^FCM来区分物理域（α^FCM= 1）和虚构域（α^FCM= α, α ∈ [0,1]，通常取一个很小的正数如10^-6）。扩展域被划分为单元，所有与物理域Ω相交的单元构成活动网格。在活动网格上，使用基于GLL点的张量积谱基函数来构造近似空间。对于时空离散，特别是显式时间积分，采用了中心差分法（CDM）。其稳定性受临界时间步长Δt^crit的限制，该步长与系统广义特征值问题的最大特征值λ_max有关（Δt^crit∝ 2/√(λ_max)）。切割单元会引入非常大的λ_max，导致Δt^crit急剧减小。

3. 杆中波传播

通过一维浸入式杆模型验证方法的有效性。物理域为[0, l_p]，嵌入扩展域[0, l]（l_p= 0.9863, l= 1.0）。研究表明，传统的质量稳定化（MS）或特征值稳定化（EVS）方法难以在抑制频谱异常值的同时，完美保持低阶模态的精度。相比之下，GEVS方法通过对质量矩阵进行紧缩（deflation）操作，能够将切割单元中过高的特征值精确地调整到与未切割单元最大特征值λ*相当的水平。收敛性分析显示，GEVS保持了最优的收敛阶。更重要的是，对于Neumann和Dirichlet边界条件，GEVS均能将临界时间步长恢复至与边界拟合离散化相当的水平，解决了切割单元导致时间步长严重受限的核心问题。

4. 圆弧中的波

通过二维浸入式圆弧模型进一步验证GEVS在更复杂几何和边界条件下的性能。物理域是一个圆弧段，嵌入一个正方形计算域。材料波速在径向按线性变化以确保平面波前。初始条件为沿圆周分布的高斯脉冲。数值实验比较了GEVS与纯MS、EVS等方法。结果表明，在Neumann边界条件下，GEVS将临界时间步长提高了1-2个数量级；在Dirichlet边界条件下，提升幅度达到2-4个数量级。同时，在所有情况下，GEVS都成功保持了解的L²误差具有最优收敛率（∝ h^p+1），证明了其精度和稳定性的优越性。

5. 结论

本研究提出的广义特征值稳定化（GEVS）策略，为浸入式边界有限元法在显式动力学模拟中的应用提供了有效的解决方案。通过局部修正切割单元的广义特征值问题，GEVS能够有针对性地消除导致临界时间步长缩减的频谱异常值，从而显著增大稳定的时间步长。该方法的关键优势在于，它在实现这一稳定化目标的同时，并未牺牲数值解的精度，保持了浸入式方法的高阶收敛特性。研究通过一维和二维数值算例全面验证了GEVS的有效性、精度和鲁棒性。该方法的成功应用，有望显著提升基于浸入式边界方法的显式动力学模拟效率，使其在处理复杂几何形状的波动问题、冲击问题等方面更具实用价值，推动了浸入式数值方法在计算力学领域的发展和应用。