基于混合整数线性规划的通风系统全局优化设计：管道尺寸、风机布局与控制策略的综合优化

《Energy and Buildings》：Optimal Ventilation Systems via MILP: Duct Sizing, Fan Placement, Control Strategies

本文针对建筑通风系统能耗高、现有设计方法难以保证全局最优的问题，提出了一种结合混合整数线性规划（MILP）的全局优化方法。研究人员通过将非线性优化问题松弛为MILP，联合优化管道尺寸、风机和变风量控制器（VFC）的选型与布局以及多工况下的系统运行，实现了生命周期成本（LCC）的最小化。案例研究表明，该方法相比现有系统可降低14%的LCC，并能在秒级计算时间内对比六种控制策略，为通风系统的节能设计与透明化决策提供了新工具，对推动建筑节能具有重要意义。

　　

建筑是全球能源消耗的主要领域之一，其中采暖、通风和空调（HVAC）系统的能耗占比超过40%，而风机作为通风系统的核心部件，其电力消耗可占HVAC系统总用电量的一半。面对日益严峻的能源形势和各国不断提升的能效标准，如何有效降低通风系统的能耗已成为建筑领域亟待解决的关键问题。传统的通风系统设计方法，如著名的T-方法，通常只考虑单一的最大负荷工况，忽略了系统大部分时间处于部分负荷运行的现实，这容易导致系统设备选型过大、初期投资增加，且在部分负荷下运行效率低下。此外，现有算法多依赖于启发式方法，无法保证所得解是全局最优的，且往往简化了风机模型，未能充分考虑新型分布式拓扑结构以及风机在变工况下的效率特性。这些局限性使得传统设计方法难以在复杂的系统配置和运行策略中寻找到真正经济高效的方案。

为了克服这些挑战，来自达姆施塔特工业大学流体系统研究所的Julius H P Breuer和Peter F. Pelz在《Energy and Buildings》上发表了一项研究，提出了一种新颖的、基于混合整数线性规划（MILP）的通风系统优化设计方法。该方法旨在通过数学优化工具，系统性地解决通风系统预规划阶段的关键决策问题，包括管道尺寸确定、风机选型与布置、变风量控制器（VFC） placement以及不同控制策略下的系统运行优化，最终目标是最小化系统的生命周期成本（LCC）。

研究人员开展这项研究的核心是建立一个能够同时处理拓扑决策（如风机和VFC的布置）和多工况下系统运行的优化模型。该模型将复杂的非线性优化问题（MINLP）通过线性松弛技术转化为计算上更易处理的混合整数线性规划（MILP）问题，并提供了经过证明的误差界，用以量化所得解与全局最优解的距离。这使得该方法能够适用于实际的工程规划设计流程，为决策者提供透明的支持，例如通过帕累托前沿（Pareto front）分析来展示投资成本与运行能耗之间的权衡关系。

为了开展这项研究，作者们主要运用了几个关键的技术方法。首先，他们通过k-means聚类算法对建筑全年的动态负荷需求进行分析，生成了一系列具有代表性的负荷工况，从而确保了优化设计能覆盖系统的各种实际运行状态。其次，他们为系统中的各个组件（如风机、VFC、管道）建立了详细的技术经济模型，特别是对非线性的风机特性曲线进行了精心的线性化处理，这是将问题转化为MILP的核心步骤。最后，他们构建了一个包含目标函数和大量约束条件的数学优化模型，并利用先进的MILP求解器（Gurobi）进行求解，该模型充分考虑了质量守恒、压力平衡、设备激活逻辑以及各种物理限制。

2.1. 负荷工况

通过结合建筑相关新风量（Q^build）和人均新风量（Q^person），并依据德国DIN标准生成每小时的 occupancy 曲线，研究人员确定了每个房间在不同运行条件下的所需风量（Q^req）。利用k-means聚类算法将14个不同的每小时负荷工况缩减为6个具有代表性的负荷工况（包括一个最大负荷工况），用于优化计算，从而在计算复杂性和模型准确性之间取得平衡。

2.2. 系统模型

该系统模型将通风网络表示为一个数学图（graph），节点代表连接点，边（edge）代表管道段或其他组件（如风机、VFC）。优化目标是最小化生命周期成本（LCC），包括投资成本、维护成本和运行成本（主要是风机能耗）。模型通过一系列约束条件来确保系统的物理可行性，例如节点压力界限、流量连续性以及设备运行逻辑。

2.3. 风机与风机站

模型允许在风机站中并行布置多个风机，并引入了二进制变量来表征设备的购买和激活决策。为了处理非线性风机特性，研究人员采用了切线低估（tangent underestimation）的方法对风机的功率损耗进行线性化，从而将其纳入MILP框架。同时，还引入了对称性破缺约束以提高求解效率。

2.4. 变风量控制器（VFC）

VFC的模型相对简单，主要考虑其固定投资成本以及当其被采购时所产生的任意压力损失。

2.5. 管道

管道模型详细考虑了摩擦损失和管件（如弯头、T型分支、E型分支）损失。管道尺寸（宽度w和高度h）是优化变量。同样，管道压力损失中的非线性项（如1/(w h)²）也通过线性化技术进行处理。模型还包含了管道内最大空气流速和管道尺寸的约束。

2.6. 固定组件

系统中一些固定组件（如消声器、过滤器）的压力损失特性被预先计算并以参数形式引入模型。

2.7. 松弛与误差分析

这是该方法的核心贡献之一。通过线性松弛，将原非凸MINLP问题转化为MILP问题。求解MILP得到解后，再将其代入原始非线性模型中进行重新评估，从而计算出松弛误差（即MILP解与非线性重新评估解之间的差距）和MILP间隙（即MILP求解器提供的对全局最优解的双重界限）。案例分析表明，该方法的松弛误差很小（<1%），验证了其有效性。

研究结果清晰地展示了所提方法的优势和应用价值。在与现有系统的比较中，优化后的系统生命周期成本（LCC）比原有系统降低了14%。分析表明，原有系统中不理想的风机选型和过大的管道尺寸是导致高成本的主要原因，两者贡献几乎相当。这凸显了联合优化的必要性。

在对不同控制策略的最小LCC分析中，研究人员比较了六种策略：定风量（CAV）、变风量定压控制（VAV-CPC）、变风量变压控制（VAV-VPC）、分布式风机定压控制（DF-CPC）、仅用分布式风机（ONLY-DF）以及最优分布式系统集中控制（ODS-CC）。结果表明，ODS-CC策略在最小化LCC方面表现最佳，其最优拓扑与ONLY-DF策略一致，即在每个房间前安装一台分布式风机，而不使用中央风机。值得注意的是，VAV-VPC策略的能耗最低，但因其VFC投资成本较高，导致总LCC并非最低。而CAV策略由于能耗极高，其LCC远高于其他策略。所有策略下的管道网络尺寸几乎相同，说明最小化管道成本是驱动LCC优化的主要因素。

对投资-能耗权衡的帕累托前沿分析显示，对于大多数权衡点，ODS-CC策略（即最优策略）要么与ONLY-DF重合（当侧重投资成本时），要么与VAV-VPC重合（当侧重能耗时）。只有在追求绝对最低能耗的极端情况下，ODS-CC才表现出独特的混合控制模式（同时使用中央和分布式风机），但带来的能耗降低微乎其微，而复杂性和成本却显著增加。

关于管道网络变化的影响分析发现，管道成本是总LCC的主要部分。放松管道内最大风速限制可以降低管道投资成本，但会增加风机能耗。当风速上限从5 m/s提高到7 m/s时，LCC可降低5-6%。而限制管道最大高度对LCC的影响很小。

在最优性间隙和计算时间方面，对于最小LCC的优化问题，所有策略的MILP间隙均为零（即求得全局最优解），松弛误差也很小（<0.7%），计算时间均在十几秒内完成，证明了方法的有效性和高效性。然而，当优化目标转向极低能耗时，MILP的求解变得非常困难，计算时间和内存消耗急剧增加。

研究的结论部分强调，这项研究提出了一种 rigorous 的数学规划方法，用于通风系统的预规划。该方法通过线性松弛技术，成功地将复杂的非线性优化问题转化为可高效求解的MILP问题，并能提供接近全局最优的解且具有可量化的误差界。案例研究证实，该方法能够系统性地比较不同控制策略，分析关键设计参数（如管道尺寸限制）的影响，并清晰展示投资与运行成本之间的权衡。这对于在建筑设计早期阶段做出经济高效的决策至关重要，为通风系统的节能降耗提供了强有力的理论工具和实践指导。未来的工作可以集中在将该方法应用于更多样化的建筑类型，并进一步探索其在详细设计阶段的应用潜力。