基于数值方法的DeepONet模型在波导折射率反演中的应用

《Journal of Computational Science》：Numerical method-informed DeepONet for refractivity inversion in waveguides

利用深度学习方法估计长波导中的垂直折射率剖面，结合DeepONet架构和变分自编码器（VAE）增强数据，通过自动微分优化前向一维亥姆霍兹方程模型，验证了该方法在气象折射和海洋声速剖面反演中的有效性，并提供了Python实现。

　　

米哈伊尔·S·利塔耶夫

俄罗斯科学院圣彼得堡联邦研究中心，第14林纳街39号，圣彼得堡，199178，俄罗斯

摘要

本研究应用深度学习方法来估计长形波导中的垂直折射率分布。我们使用DeepONet架构来学习一个逆运算符，该运算符可以将已知源的信号测量值映射到折射率分布上。正向模型是单向亥姆霍兹方程。变分自编码器被用来增强用于训练逆运算符的输入数据。然后使用可自动微分的前向模型对得到的结果进行精细化处理。计算实验针对对流层和水下层析成像问题进行了测试，包括基于真实数据的实验。数值结果验证了所提出方法的有效性。所提出方法的Python 3（JAX）实现已公开可用。本工作是ICCS-2025会议论文（Lytaev, 2025）的扩展版本。

引言

折射对大范围无界域（如对流层[1]或水下环境[2]）中的波传播具有决定性影响。对流层的折射率可以形成波导，使无线电波在地球表面附近传播数百公里。同样，声波在水下也会受到声速分布的影响而传播数百甚至数千公里。尽管如此，目前尚未开发出可靠的实时测量或估计大气折射率参数[3]、[4]或海洋参数[5]的方法。由于研究区域范围过于广阔，直接实时测量变得不切实际，因此基于间接传感的反演方法似乎是最有前景的。从数学角度来看，反演问题的复杂性在于其非线性和哈达玛德意义上的不适定性[6]。

从经典理论的角度来看，非线性不适定问题很难得到可靠解[7]。即使能够找到解，也需要数小时甚至数天的复杂计算，从而导致结果失去实际意义[8]。另一方面，现代机器学习（ML），包括科学ML[9]解决的问题虽然也是不适定的，但通常可以通过现代神经网络架构和优化方法快速有效地解决。这表明在折射率反演问题中可以使用ML工具。尽管在包括地球物理学和医学在内的许多应用领域，层析成像问题已经得到成功解决[10]，但得到的结果往往是定性的而非定量的，并且相当近似。因此，将ML应用于各种层析成像问题显得非常有前景[11]。

基于物理知识的机器学习模型通常缺乏可解释性。ML方法主要依赖于数据而非物理定律和方程。然而，在物理问题中，高质量的大数据非常罕见。一种克服这一问题的成功方法是基于物理知识的神经网络（PINN）[12]。PINN允许将物理定律纳入目标函数中，从而提高结果的准确性和可解释性。PINN适用于解决正向和反向问题。不过，PINN的一个缺点是它没有考虑所处理过程的数值建模特点，特别是在波导中的波传播建模中，主要难点在于数值计算，因为计算域非常大。

为了解决数值实现的特点，可以将原始物理模型的数值方案代入目标函数中。这样可以考虑数值特性，但需要对数值方案进行微分。可微分的数值方案已经在流体动力学[13]、[14]、力学[15]和水下声学[16]等问题中显示出有效性。

在这项研究中，首次尝试使用深度神经网络来寻找未知的折射率分布。对于相应的正向问题，采用了抛物线方程（PE）方法作为数值方案，该方法同样适用于解决水下声学问题[17]和对流层无线电波传播[1]，以及地球物理学、光学和量子物理学中的类似问题。这项研究的灵感主要来自于关于神经常微分方程（ODE）的工作[18]、[19]，这些工作提出了同时包含微分方程和神经网络的模型。这种方法允许使用严格的波动方程来考虑波动特性，同时利用神经网络来建模和估计难以解释的参数（如折射率不均匀性）。在本研究中，我们将神经ODE的思想与DeepONet方法[20]结合起来来训练逆运算符。

本文的结构如下：下一节简要描述了正向模型，并正式阐述了从场测量数据中恢复折射率的反问题。第3节提出了两种解决反问题的神经方法：第一种方法针对每个测量值解决优化问题，并包括数值方案的自动微分；第二种方法基于DeepONet方法训练逆运算符。然后介绍了这两种方法的联合应用。第4节分析了对流层折射率估计以及浅海中声速分布恢复的数值结果。本工作是ICCS-2025会议论文[21]的扩展版本。

章节摘录

问题的数学表述

本节揭示了正向波传播问题和反向波传播问题之间的关系。

折射率反演

在这项研究中，我们考虑了两种解决问题的方法（4）。第一种方法是对每个单独的测量值解决优化问题。第二种方法是找到一个逆运算符，以便能够计算任何测量值的反问题解。

数值结果与讨论

计算实验的总体方案基于合成数据的反演。选择一个典型的折射率分布。使用正向问题解决方法，计算出接收器位置对应的点上的值。在这些值中添加随机噪声。然后将带有噪声的合成测量数据输入反演算法，该算法估计折射率。最后，比较原始分布和反演后的分布。

结论

与PINN不同，所提出的方法使用了现有的、经过验证的数值方法来解决正向问题，因为这种方法更为可靠和高效。也就是说，该方法不仅基于物理定律（“基于物理知识”），还考虑了这些定律的数值实现特点，使其成为“基于数值方法的”[42]。这种方法似乎具有更高的可解释性和数值效率。

使用深度神经网络来表示所需的折射率分布

利益冲突声明

作者声明他们没有已知的、可能影响本文所述工作的财务利益或个人关系。

致谢

本研究得到了俄罗斯科学基金会的资助，资助编号为：25-71-00028。