一种用于高精度重建和粗糙岩体裂隙中非线性流动模拟的离散分形集（DFS）方法

《Journal of Hydrology》：A Discrete fractal set (DFS) method for high–accuracy reconstruction and nonlinear flow simulation in rough rock fractures

本研究提出离散分形集（DFS）方法用于重建粗糙裂隙表面，通过峰值比准则将表面分段，并采用分形函数局部精细化，改进Forchheimer方程以描述非线性流行为，验证显示预测精度提升4.15%。

　　

Jinjie Liu|Long Xu|Fusheng Zha|Shan Wu|Qiao Wang|Yuan Zhang

合肥工业大学资源与环境工程学院，中国合肥230009

摘要

理解流体通过粗糙岩石裂缝的流动在众多地球科学和工程应用中至关重要。表面粗糙度会增加粘性耗散和惯性效应，从而放大非线性流动行为。准确重建粗糙裂缝的几何形状，并将其整合到非线性流动模型中，对于更精确地捕捉这些效应至关重要。本研究提出了一种离散分形集（DFS）方法，用于重建粗糙裂缝表面并评估其对非线性流动的影响。该方法将粗糙轮廓分割成基本粗糙单元（BRCs），然后根据峰值比标准将它们分组。随后应用Weierstrass–Mandelbrot（W–M）函数对每个单元进行局部分形细化。敏感性分析表明，峰值比阈值为1.0可以在重建精度和鲁棒性之间达到最佳平衡。DFS方法经过标准JRC轮廓和自然裂缝表面的验证，在重建质量上优于传统的W–M方法，其均方误差（MSE）值始终低于0.11，而W–M方程的MSE值通常超过0.7。为了表征流动行为，将生成的孔隙度和水力孔隙度场纳入Forchheimer方程，得到DFS–Forchheimer方程。与实验和数值结果的比较验证表明，所提出的模型将出口流速预测精度提高了约4.15%，并减少了预测的不确定性，从而证实了其在非线性流动模拟中的可靠性。

引言

在岩土介质中的裂缝通常作为流体迁移的优先路径，最终导致裂缝系统中的宏观不可预测的流动行为。因此，准确理解、建模和预测这些介质中的流体传输特性对于各种工程应用至关重要，包括水坝工程、二氧化碳地质储存和垃圾填埋场安全风险管理（Berkowitz, 2002; Zhang and Nemcik, 2013; Lee et al., 2015; Zou and Cvetkovic, 2020; Viswanathan et al., 2022）。然而，使用完整的Navier–Stokes方程直接数值模拟裂缝介质中的流动仍然计算量大且耗时，主要是由于在离散裂缝网络内求解速度和压力场的非线性偏微分方程的复杂性（Brush and Thomson, 2003）。作为一种更易处理的替代方案，基于光滑平行板之间层流假设的经典立方定律及其变体被广泛使用。然而，这些模型存在显著局限性。特别是，压力梯度与流速之间的线性关系假设无法捕捉到在高雷诺数下裂缝中常见的非线性流动行为，此时惯性效应变得显著（D. J. Brush and Thomson, 2003; Wang et al., 2015, He et al., 2021, Yu et al., 2025）。为了解决这一限制，提出了改进的模型，如Forchheimer方程，该方程增加了额外的惯性项以扩展立方定律（方程（1））。这些模型能够考虑高流速条件下的惯性效应主导，并提供对裂缝主导介质中非线性流动行为的更准确描述（Zhang and Nemcik, 2013; Javadi et al., 2014a; Zou et al., 2017, Xiong et al., 2018; Zhang et al., 2021）。

其中，$w$表示裂缝孔隙度，$e$表示水力孔隙度，$\beta$表示非达西系数，当其为零时，方程简化为立方定律。

除了高雷诺数作为关键触发因素外，裂缝主导介质中的非线性流动行为还因裂缝表面的固有粗糙度而进一步加剧。正如Li等人（2016）和Cunningham等人（2020）所描述的，流体在粗糙裂缝中的流动经常遇到狭窄的孔隙度，导致流动模式的突然中断（图1）。在这些孔隙度突然变化的位置，剪切力和粘性力的相互作用导致流动边界从裂缝表面脱离。这种流动分离在裂缝的凹形部分形成低压涡流，从而减小了有效水力孔隙度，放大了惯性效应，并加剧了非线性流动行为（Xiong et al., 2018, Wang et al., 2020; Y. Zhang et al., 2021）。因此，表征裂缝表面粗糙度并将其整合到非线性流动理论中对于深入理解裂缝主导介质中的流动行为非常重要。联合粗糙系数（JRC）最初由Barton（1973）提出，用于评估岩石接缝的表面粗糙度。在后续研究中，JRC与3D打印和水泥浇筑等技术结合使用，以重建裂缝表面粗糙度并进行单裂缝流动实验（Cunningham et al., 2020; Yan Zhang et al., 2022）。然而，在实际应用中，JRC的确定往往依赖于主观判断和经验比较，这可能导致裂缝粗糙度的表征不一致和不准确。为了解决这些限制，越来越多的先进3D激光扫描技术被采用，实现了裂缝表面的高分辨率数字化。这种方法有助于更准确的定量分析和复杂粗糙裂缝几何形状的三维重建（Xiong et al., 2018）。尽管这些技术具有优势，但高昂的成本和特定场景的性质限制了它们在大规模粗糙度表征中的广泛应用。最近，裂缝表面的自相似性和自亲和性特性得到了认可和证实（Hou et al., 2021; Ju et al., 2019a; Zou et al., 2015），为使用分形理论描述表面粗糙度开辟了新的途径。其中，Weierstrass–Mandelbrot（W–M）函数因其能够通过可调参数（如分形维数（D）和分形粗糙度（G）灵活高效地生成复杂裂缝表面而受到广泛关注（Jin et al., 2017, Ju et al., 2019; Itzhak, 2020; Hou et al., 2021; Zhang et al., 2021）。例如，Ju等人（2019b）将W–M函数与Cuckoo Search算法结合使用，以考虑裂缝轮廓的标准差和Hurst指数，分析粗糙度对渗透率的影响。同样，Cui等人（2022）使用W–M函数生成代表裂缝粗糙度的平均水力孔隙度，并通过确认性的3D打印注入测试进行了验证。

在使用Weierstrass–Mandelbrot（W–M）函数的传统粗糙裂缝表面重建中，通常使用一对分形参数——分形维数（D）和分形粗糙度（G）来表示表面几何形状并生成全局平均孔隙度。然而，将一组统一的D和G值应用于具有不同粗糙度的表面可能导致估计误差，特别是在捕捉非线性流动行为的增强方面。为了解决这一限制，提出了一种新的表面重建方法和基于离散分形集（DFS）框架的改进非线性流动模型。DFS方法的核心创新在于其自适应离散化方案，通过该方案识别出依赖于粗糙度的段，并分配局部校准的分形参数，从而生成空间异质性和更真实的孔隙度场。这些可变的孔隙度随后被纳入改进的Forchheimer方程中，该方程明确考虑了局部孔隙度变化及其对非线性流动状态的影响。通过重建标准JRC轮廓和自然粗糙表面，评估了DFS方法的性能。此外，DFS–Forchheimer方程的准确性和预测能力通过实验测量和数值模拟得到了验证，证明了其在表示裂缝主导系统中的非线性流动行为方面的有效性。

离散分形集（DFS）方法的理论基础

基于分形理论的传统粗糙表面重建方法通常通过调整单一分形维数来生成均匀的等效裂缝表面。然而，这些方法难以准确捕捉局部表面特征——尤其是在高粗糙度条件下。在这项研究中，提出了一种新颖的方法，该方法使用自适应、自确定的方法将粗糙表面离散化为多个段。然后独立地对每个段进行特征描述

使用DFS方法重建粗糙裂缝表面

为了证明本研究提出的DFS方法的有效性，首先进行了粗糙裂缝表面的重建验证。如理论描述所示，R_T作为定义粗糙表面分割标准的关键参数，决定了最终段的数量和模式。因此，初步的重点是研究粗糙表面重建精度对R_T的敏感性，从而确定最佳阈值。

性能提升的物理机制

DFS–Forchheimer方程的预测精度提高源于DFS能够重建控制粗糙裂缝中流动阻力的孔隙度场。DFS方法将粗糙表面分割成基本粗糙单元（BRCs），使该方法能够保留通常导致较大压力降的突然孔隙度。这些重建的小尺度孔隙度随后被嵌入Forchheimer公式中，使模型能够解决局部惯性问题

结论

本研究开发了一种离散分形集（DFS）方法，通过离散分割和局部分形特征化来重建粗糙裂缝表面。DFS产生的异质孔隙度场随后被纳入改进的Forchheimer框架中，形成DFS–Forchheimer方程。这种集成方法提高了粗糙表面重建的精度，并增强了非线性流动预测能力。主要结论如下。

(1) 一种新颖的粗糙

未引用的参考文献

Brush and Thomson, 2003a, Brush and Thomson, 2003b, Javadi et al., 2014, Zhang et al., 2021a, Zhang et al., 2021b, Zhang et al., 2022a, Zhang et al., 2022b.

CRediT作者贡献声明

Jinjie Liu：撰写——原始草案。Long Xu：概念化。Fusheng Zha：监督。Shan Wu：方法论。Qiao Wang：软件。Yuan Zhang：数据整理。

利益冲突声明

作者声明他们没有已知的可能会影响本文报告工作的竞争性财务利益或个人关系。

致谢

本工作得到了中国国家重点研发计划[项目编号：2023YFC3707900]、国家自然科学基金[项目编号：42477159]、安徽省自然科学基金[项目编号：JZ2023AKZR0568]以及合肥工业大学的独立创新人才项目[项目编号：JZ2024HGTG0289]的支持。