广义时间分数阶导数的高精度逼近：基于尺度与权重函数的误差分析与数值模拟

《Mathematics and Computers in Simulation》：Approximation of generalized time fractional derivatives: Error analysis via scale and weight functions

本文针对广义时间分数阶导数（GTFD）提出了一种基于牛顿插值的高效混合计算逼近方法，通过尺度函数?(t)和权重函数μ(t)的系统分析，揭示了其对局部截断误差和收敛阶的影响规律。研究不仅建立了GTFD在C1、W1,1等函数空间中的正则性理论框架，还构建了求解广义时间分数阶扩散方程（GTFDE）的高阶计算格式，在线性插值情形下严格证明了稳定性，并通过数值实验验证了该方法相较于Stynes（2017）、Wang（2025）等现有方案的高效性。

　　

亮点（Highlights）

• 首次建立了广义时间分数阶导数（GTFD）在特定函数空间内的完整正则性理论体系

• 提出适用于光滑/非光滑解的任意阶牛顿插值逼近方法，突破传统格式限制

• 通过尺度函数?(t)与权重函数μ(t)的耦合分析，揭示误差传播的数学本质

• 构建时空高精度计算格式（四阶紧致差分+高阶时间离散），显著提升GTFDE求解效率

结论（Conclusions）

本研究为GTFD算子建立了严格的理论框架，证明其在AC_δ?,μⁿ(Θ?)空间的良好定义性及在Sobolev空间W^1,1中的稳定性。针对α∈(0,1)阶GTFD提出的高阶计算逼近方法，通过牛顿插值多项式实现光滑/非光滑解的通用处理，数值实验证实其在线性/二次插值情形下均保持理论预测精度。尺度函数与权重函数的协同效应分析为分数阶模型优化提供新视角，所建数值格式为复杂分数阶系统模拟提供有效工具。

未来展望

后续研究可拓展至分布阶分数阶微分方程、变阶次GTFD建模，以及机器学习辅助的尺度函数优化策略。