显式广义单步单阶段积分新方法：结构/多体动力学中具有改进阻尼稳定性的突破

《Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering》：A new family of explicit generalized single-step single-stage integration methods for structural/multibody dynamics with improved stability for viscous damping

本综述推荐一种新型显式广义单步单阶段积分方法（GSSSS Exp），专为结构/多体动力学二阶微分方程设计。该方法在广义单步单解（GSSSS）框架下，实现了二阶精度、可控数值耗散及对阻尼的显式/隐式处理。其创新点在于通过隐式处理阻尼，首次突破了Krieg稳定性壁垒，使稳定极限随模态阻尼比（ξ）显著提升，为波传播、接触/冲击及非线性动力学模拟提供了更高精度与稳定性的计算工具。

　　

Highlight

章节摘要

本节将验证本文提出的GSSSS Exp(ρ_b, ρ_3b; η)方法的数值特性，并与文献中其他显式单步（SS）方法进行比较。表1已汇总了GSSSS框架所涵盖的现有显式方法，几乎囊括了迄今为止开发的所有单阶段SS方法。表5详细列出了这些显式方法（不包括SS32系列方法，因为我们未发现特定的参数化方案）的数值特性，包括收敛阶次、数值耗散特性（谱半径ρ）、稳定极限（Ω_s）以及位移（D）、速度（V）和加速度（A）的起始误差阶次。我们特别关注具有二阶精度和可控数值耗散的显式方法，这些方法在GSSSS框架中通过两个自由参数（ρ_b和ρ_3b）进行控制，分别对应于算法阻尼（Algorithmic Damping）和高频谱偏移（High-Frequency Spectral Shift）。参数η用于控制阻尼处理方式（η=0为显式处理，η=1为隐式处理）。

数值示例

本节将通过多个波传播和冲击问题展示GSSSS Exp方法系列的计算优势。

1. 1.
   在第6.1节中，我们将证明GSSSS Exp方法在模拟线性一维测试问题中的位移波和速度波时，相较于谱特性相同的显式广义-α（EG-α）方法和Li-Yu-Li广义单步显式（GSSE）系列方法，具有更高的精度。当应用数值耗散时，能有效减小波前的过冲现象。
2. 2.
   在第6.2节中，我们将展示GSSSS Exp方法在处理具有质量比例阻尼（Mass-Proportional Damping）的线性地震响应问题时的卓越稳定性。通过与采用显式/隐式阻尼处理的其他显式方法对比，凸显其在阻尼模型下的稳定极限优势。
3. 3.
   此外，我们还将通过一个具有线性刚度比例阻尼（Stiffness-Proportional Damping）的几何非线性冲击问题，对比GSSSS Exp方法与其他显式及隐式方法，证明其隐式阻尼处理方式在稳定性和计算效率方面的提升。

结论

本文在广义单步单解（GSSSS）框架内，提出了一种用于结构动力学的新型显式单步方法家族设计。最优的GSSSS Exp方案具有二阶精度、带有两个可控谱根（ρ_b, ρ_3b）的数值耗散特性、最小的起始误差以及显式或隐式处理阻尼的选项。最小的起始误差带来了位移变量精度的显著提升，尤其对于初始速度起主导作用的波传播和接触/冲击问题益处明显。通过隐式处理阻尼选项，该方法首次实现了稳定极限随模态阻尼比（ξ）的显著扩展，突破了传统的Krieg壁垒（即稳定时间步长Δt ≤ 2/ω_max，其中ω_max为系统最大模态频率）。这种稳定性增强对于包含质量比例阻尼或（瑞利型）刚度比例线性阻尼模型的应用具有重要价值。数值例子验证了该系列方法在线性/非线性、无阻尼/有阻尼等多种动力学场景下，相较于现有显式方法在精度和稳定性方面的优越性能。