《Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering》：Numerically robust local continuum damage models with softening response via convex relaxation
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本文针对传统率相关损伤模型存在的非凸性及数值求解困难问题，提出一种基于凸松弛与最优传输理论的变分框架。研究通过引入损伤率限制条件，将非凸的增量能量最小化问题转化为凸优化问题，并利用概率测度描述损伤分布演化。该方法不仅保证了模型解的存在性与唯一性，还揭示了损伤演化的微观结构形成机制，为材料失效分析提供了新的数学工具与物理见解。
在工程材料与结构的设计中，准确预测损伤演化过程对保障安全性至关重要。传统连续损伤力学模型常面临非凸性导致的数值不稳定问题，且率相关损伤行为的物理描述存在局限性。为此，研究人员在《Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering》发表论文，提出一种结合凸松弛与最优传输理论的率相关损伤模型变分框架。
研究通过引入损伤率限制（d?max），将非凸的增量能量函数转化为凸优化问题。利用概率测度描述损伤分布，并通过Monge-Kantorovich最优传输问题定义损伤演化的耗散距离。该方法在线性、二次及指数型损伤退化函数中均保持数学一致性，并揭示了损伤微观结构的形成机制。
关键技术方法
- 1.
凸松弛技术：通过Carathéodory定理将非凸增量能量转化为多相混合问题；
- 2.
最优传输理论：定义损伤状态演化的Wasserstein距离；
- 3.
概率测度描述：用离散测度（ρjδdj）表征损伤分布；
- 4.
变分迭代求解：基于Biot方程的时间离散化格式。
研究结果
1. 损伤模型的凸松弛构造
通过引入损伤率限制条件，将原始非凸问题转化为关于损伤概率测度的凸优化问题。结果表明，损伤演化表现为不同损伤状态间的质量传输过程。
2. 最优传输框架下的损伤分布演化
基于Monge-Kantorovich问题定义的耗散距离，揭示了损伤演化中微观结构的形成机制。数值实验表明，损伤分布会自发分化为高/低损伤区域共存的混合状态。
3. 三类损伤退化函数的统一描述
在线性（f(d)=1-d）、二次（f(d)=(1-d)2）和指数型（f(d)=e-d）退化函数中，模型均能给出物理一致的损伤演化路径。
4. 率相关与率无关行为的统一框架
当损伤率限制趋于无穷时，模型退化为经典率无关损伤模型；有限速率条件下则自然体现率相关特性。
结论与讨论
本研究构建的变分框架为率相关损伤行为提供了严格的数学基础。通过凸松弛与最优传输理论的结合，不仅解决了传统模型的数值困难，还揭示了损伤演化的微观统计本质。该框架可扩展至多场耦合问题，为材料失效分析提供了新范式。
