《Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering》：Wavelet-based enrichment for physics informed neural networks to approximate localized and heterogeneous solutions in solid mechanics
编辑推荐：
本文聚焦于物理信息神经网络（PINN）在固体力学边界值问题求解中面临的挑战：传统PINN难以精确捕捉高度异质化、局部化的解（如孔洞、相界附近的应力集中）。为突破此瓶颈，作者团队创新性地提出了小波基增强函数，通过将解分解为全局平滑分量（由神经网络逼近）与局部高频分量（由小波函数捕获），显著提升了PINN对复杂力学场的表征能力。研究通过加权损失函数平衡非均匀配置点贡献，并设计了可微连续的小波函数以适应自动微分。多个弹性基准算例验证了该方法仅需简单网络结构与少量配置点即可实现高精度逼近，为计算力学中多尺度问题求解提供了新范式。
在当今计算力学领域，物理信息神经网络（Physics-Informed Neural Networks, PINN）因其无需网格离散、能直接提供全场连续解的优势，已成为求解固体力学边界值问题的明星技术。然而，当问题涉及孔洞、裂纹或复合材料界面时，解场往往表现出强烈的空间异质性和局部化特征，这对基于平滑激活函数的传统PINN构成了巨大挑战——它们就像一位擅长描绘整体轮廓的画家，却难以精细刻画局部锐利细节。这种"短板效应"严重制约了PINN在工程关键场景（如疲劳寿命预测、复合材料设计）中的应用。
为解决这一瓶颈问题，来自法国洛林大学Arts et Metiers研究所的Duc-Vinh Nguyen团队在《Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering》上发表了突破性研究。研究者独辟蹊径地引入小波分析理论，构建了一种新型增强型PINN框架。其核心思想令人拍案：何不将复杂的力学场解构为"宏观平滑背景"与"微观波动细节"两个部分？让神经网络专心处理前者，而后者则交给擅长局部表征的小波函数来捕捉。这种"分工协作"策略不仅降低了神经网络的学习难度，更关键的是为捕捉局部高频特征提供了数学保障。
为实现这一构想，研究团队攻克了两个技术难关：首先设计了基于一阶高斯小波（first-order Gaussian wavelet）的连续可微增强函数，确保其能与PINN的自动微分（automatic differentiation）机制无缝衔接；其次提出了密度感知加权方法（density-aware weighting），通过Voronoi镶嵌技术量化配置点分布密度，有效平衡了局部加密区域与全局区域的误差贡献。特别值得称道的是，增强函数系数被作为可训练参数与神经网络权重同步优化，形成端到端的学习系统。
在关键技术方法层面，本研究主要采用：① 多分辨率小波基构造技术（通过张量积扩展构建二维增强函数）；② 配置点自适应采样策略（在增强子域内加密采样）；③ 两阶段训练算法（预训练基础网络后激活增强函数）；④ L1正则化约束（控制小波系数稀疏性）；⑤ 仿射坐标变换（将物理空间映射到小波参考空间）。这些方法有机结合，确保了增强系统的数值稳定性和计算效率。
2.1 PINN作为求解器
研究沿用经典PINN架构，通过并行神经网络分别预测位移和应力场分量，利用自动微分计算应变，并通过加权损失函数整合控制方程（?·σ=0）、边界条件（狄利克雷与纽曼条件）和本构关系（胡克定律）的残差。
2.2 配置点局部细化的密度感知加权
针对非均匀配置点分布导致的训练偏差，提出按Voronoi单元面积倒数设置权重因子，使不同密度区域的物理残差贡献趋于均衡。数值实验表明，该方法可缓解局部加密引起的其他区域精度退化问题。
2.3 增强型PINN
创新点在于：① 采用一阶高斯小波ψ(ξ)=-ξexp(-ξ2/2)作为母小波，其高斯缩放函数?(ξ)=exp(-ξ2/2)保证连续可微性；② 通过仿射变换τ(x)=Ax+b将物理空间增强子域映射到标准参考空间；③ 使用张量积构造二维小波基函数（水平、垂直、对角三个方向）。
3. 数值研究
以含中心圆孔的平板拉伸为基准案例，结果显示：传统PINN在孔边应力集中区域误差达25%-40%，而增强型PINN（分辨率等级j=1）将误差降至5%以下。学习曲线清晰显示，激活增强函数后损失值骤降一个数量级。
4. 应用案例
在多孔介质和双材料复合材料两个 homogenization（均质化）问题中，增强型PINN成功捕捉到：① 椭圆孔洞周边的应力梯度突变；② 材料界面处的应力不连续性（虽然小波函数连续，但高频分量可逼近间断解）。特别在双材料案例中，增强方法将界面应力误差从传统PINN的35%降至8%。
研究结论深刻表明：小波增强框架使PINN具备了多尺度建模能力。其意义不仅在于当前实现的弹性问题高精度求解，更为后续拓展至弹塑性大变形问题铺平了道路。该方法突破了传统PINN的"平滑性瓶颈"，使神经网络真正成为处理力学局部化问题的利器。未来通过引入自适应小波选择机制和时空扩展，有望在金属成形、疲劳分析等工程领域产生更大价值。
