《Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering》：The inference of Fokker-Planck equations via transport maps
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本文推荐一项研究，针对从高维动态系统观测数据中推断Fokker-Planck方程潜在势函数和扩散张量这一挑战，研究人员提出了一种融合最优传输理论与变分推理的混合框架。该工作利用Knothe-Rosenblatt重排构造从参考分布到目标分布的单调三角映射，将密度演化建模为映射的轨迹，并通过贝叶斯神经网络表征势函数，实现了对系统参数和演化过程的同时学习。结果表明，该方法能有效从稀疏数据中恢复复杂势能景观和各项异性扩散，为复杂生物物理过程的动力学建模提供了新工具。
在生命科学、物理化学和工程领域的许多复杂系统中，微观粒子或宏观状态的随机演化往往由Fokker-Planck方程描述。该方程将系统概率密度函数的演化与一个决定性的漂移项（通常由势函数的梯度驱动）和一个随机的扩散项联系起来。准确推断出方程背后的势函数和扩散系数，对于理解系统的稳定状态、预测其动态行为以及实现精准控制至关重要。然而，从实验或模拟中获得的高维、噪声污染且可能稀疏的观测数据中，稳健地反演这些底层参数是一项长期的挑战。传统的基于偏微分方程约束优化或模拟的方法，在高维情形下常面临计算成本高昂和不适定性问题。
为了应对这一挑战，本研究引入了一个新颖的计算框架，它将最优传输理论的思想与现代深度学习的表达能力相结合。研究的核心创新点在于利用Knothe-Rosenblatt重排来构建一个随时间演变的传输映射。这个映射能够将一个简单的参考分布（如高斯分布）拉回，从而生成在不同时间点观测到的目标概率分布。通过这种方式，复杂的密度演化过程被转化为一个相对更容易处理的映射轨迹学习问题。研究人员进一步采用贝叶斯神经网络来参数化关键的Fokker-Planck势函数，这不仅允许模型捕捉复杂的非线性特征，还能够对推断结果中的不确定性进行量化。通过定义一个结合了传输映射拟合优度和Fokker-Planck方程残差的最小化目标函数，该框架能够从离散的时间序列数据中联合学习出传输映射、势函数以及扩散张量。
本研究所采用的关键技术方法主要包括：1. 利用Knothe-Rosenblatt重排构造单调递增的三角传输映射，以关联参考分布与不同时刻的观测数据分布；2. 使用全连接神经网络参数化时变传输映射和Fokker-Planck势函数；3. 引入贝叶斯神经网络并对变分后验进行近似，以量化参数不确定性；4. 构建一个组合损失函数，其包含基于Kullback-Leibler散度的数据拟合项和强制执行Fokker-Planck方程约束的物理残差项；5. 采用蒙特卡洛采样和数值积分技术来近似计算损失函数中的期望和积分项。
研究结果
1. 传输映射与密度重构
研究通过数值实验表明，所提出的框架能够准确学习从参考分布到目标分布的传输映射。在二维示例中，通过学习得到的映射S(x, t)成功地将初始高斯分布转换为不同时刻的复杂分布（例如，多峰分布）。通过映射的拉回操作重构出的概率密度函数与真实密度高度吻合，验证了传输映射在表征密度演化方面的有效性。
2. Fokker-Planck势函数与扩散张量的恢复
在已知势函数和扩散张量形式的验证案例中（如二次型势函数和各向同性/各向异性扩散），模型能够高精度地恢复出真实的参数值。例如，对于一个二维各向异性扩散问题，模型学习到的扩散张量D与真实值非常接近，同时重构的势函数Ψ(x)也准确地捕捉了势能面的形状（如碗状势或环形势）。即使在不预设势函数具体形式、而采用神经网络表示的情况下，模型也能在数据支撑较好的区域较好地还原势能景观。
3. 高维问题的处理能力
研究成功地将方法应用于五维空间中的Fokker-Planck动力学推断问题。尽管数据点相对高维空间而言非常稀疏（仅使用约3000个样本），模型仍然能够捕捉到势函数的主要特征（如双阱势）并给出合理的扩散系数估计。通过投影到二维子空间进行可视化，可以看出学习到的势函数切片与真实情况在趋势上保持一致，证明了方法处理高维问题的潜力。
4. 不确定性量化
通过贝叶斯神经网络的应用，模型不仅提供了点估计，还给出了预测的不确定性。结果显示，在数据稀疏或物理约束残差较大的区域，模型预测的方差会明显增大。这为评估推断结果的可靠性提供了重要指标，例如在势能面的低概率区域或演化序列的后期时间点，不确定性会相应升高。
结论与讨论
本研究发展了一个基于最优传输和贝叶斯深度学习的新型计算框架，用于从观测数据中联合推断Fokker-Planck方程的势函数和扩散张量。该方法的优势在于它将一个复杂的时变偏微分方程反问题转化为一个传输映射轨迹的学习问题，从而规避了直接求解高维Fokker-Planck方程的困难。通过引入Knothe-Rosenblatt重排，保证了映射的可逆性和单调性，为密度演化提供了几何直观的解释。同时，利用神经网络的强大函数逼近能力和贝叶斯方法的不确定性量化能力，使模型能够灵活处理复杂的势能景观并对推断结果给出可信度评估。
实验结果表明，该框架在二维和五维的示例中均表现出色，能够准确恢复预设的参数和密度演化过程。即便在数据量有限、势函数形式未知的情况下，模型仍能获得合理的结果。这项工作为复杂随机动力系统的逆向建模提供了强有力的工具，尤其在生物物理学（如细胞迁移、分子动力学）和统计物理等领域具有广阔的应用前景。未来工作的方向包括将该框架扩展到更复杂的边界条件、考虑非平衡稳态系统，以及应用于真实的大规模实验数据集。
