基于间断伽辽金方法（Discontinuous Galerkin）的粘聚区模型用于模拟韧性控制的失效过程

《Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering》：Discontinuous Galerkin cohesive zone modeling of toughness-controlled failure

提出基于不连续伽辽金方法的脆性断裂分析框架，通过弹性卸载假设和分离功一致积分解决传统方法中分辨率不足与计算不稳定问题，验证其在动态剥落、平面应变断裂及三维裂纹扩展中的有效性。

　　

丹尼尔·皮卡德

麻省理工学院，航空与航天系，剑桥，马萨诸塞州，02139，美国

摘要

本文提出了一种断裂分析方法，该方法基于不连续Galerkin形式主义、简单的失效轨迹以及脆性卸载的假设。对于正的断裂能量，半离散系统是有限元节点坐标数组的连续函数，这使得半离散问题具有良好的适定性。在完全脆性的极限情况下，该公式简化为成熟的不连续Galerkin/粘聚区建模范式。该方法的稳健性源于裂纹扩展尖端处数值通量的平滑处理，其多功能性通过一系列大规模断裂扩展问题得到了验证。

引言

不连续Galerkin/粘聚区方法（DG/CZM）是一种分析动态剥落现象和解决冲击载荷下产生的径向及锥形裂纹复杂模式的成熟方法[1]。在这些情况下，精细的计算网格对于解析脆性材料中极其微小的断裂过程区域至关重要[1]。这激发了对“可扩展到大量处理器的并行计算方案”的需求，尤其是在三维问题中[2]。然而，关于这种方法的文献中，包含的具有清晰解析的脆性断裂过程区域的模拟相对较少[3]。 作者最近参与普渡大学损伤力学挑战赛[4]、[5]的经历，揭示了使用DG/CZM方法解析过程区域时遇到的一些障碍。在[4]中，一个简单的三点弯曲脆性断裂实验是在DG/CZM范式下建模的，其中使用的元素尺寸大约是断裂过程区域的十六分之一。引用文献中的图像显示在图1中，清晰地展示了沿裂纹壁的非物理残余应力增强现象。可以观察到，即使在裂纹几乎完全切断域且支撑件施加的载荷大幅减少后，仍存在显著的冯·米塞斯应力。这种行为是由于断裂过程区域被清晰解析所导致的，它允许在网格的多个连接处发生广泛的裂纹分支。这导致了多个部分受损的界面元素，这些元素可能承载显著的内部牵引力，从而产生非物理的残余应力。 为了阐明和隔离上述现象，图2展示了简单平面应变裂纹的DG/CZM模拟结果。σ_yy应力场的等值线显示了I型裂纹前的应力增强。当粘聚过程区域开始起作用时，粘聚元素以彩色线条表示，颜色代表沿界面元素耗散的归一化粘聚能量。左侧的模型中，粘聚长度尺度与元素尺寸的比约为二十，而右侧模型的这一比约为五十。从图中可以清楚地看到，尽管只有一条细线完全受损，但裂纹扩展激活了许多粘聚元素。显然，随着裂纹的推进，裂纹壁并不一定发生卸载。当模拟相对较坚韧的材料在小尺度上失效时，这种行为最近变得有问题，因为在这种情况下很容易实现过程区域的优异解析[3]。 挑战赛还强调了DG/CZM方法的高计算成本。在[4]中发现，DG/CZM模拟的总动能由于弹性能量的突然释放而出现大幅振荡，这使得求解离散平衡方程极其困难。尽管已经付出了大量努力来开发这类问题的稳健求解器，并利用并行计算的众多计算优势[1]、[6]、[7]，但目前仍缺乏一种稳健的解决方案。最近也有许多努力致力于开发高效的不连续Galerkin偏微分方程公式[8]、[9]、[10]，但这些新的、计算效率高的公式尚未应用于DG/CZM断裂建模范式中。 许多作者试图解决DG/CZM方法的上述局限性。变分多尺度方法[11]、[12]、时间连续的粘聚元素[13]以及先进的求解算法[14]、[15]为提高断裂模型的稳健性提供了有希望的途径。特别值得关注的是，Versino等人[16]在内部惩罚DG公式中加入了损伤变量，以模拟界面分离。这种方法似乎为模拟失效提供了有希望的途径，但必须解决一些理论和实际问题，以便模拟无约束裂纹路径并将该方法扩展到其他DG方法中。 本文的目的是提出一种基于不连续Galerkin的断裂模型框架，该框架既能解析断裂过程区域，又能利用高效的数值公式和求解算法。目标是扩展不连续Galerkin断裂建模方法适用的问题类别，使其在与其他方法竞争时仍然实用且具有竞争力。 我们首先介绍固体力学问题的不连续Galerkin公式，然后引入界面损伤变量。通过专门化为内部惩罚方法和特定的损伤模型，所提出的方法可以简化为Versino等人的方法[16]。或者，取完全脆性的极限并专门化为[17]、[18]中描述的DG方法，该方法就简化为成熟的DG/CZM形式主义。本质上，我们提出了一种统一的建模方法，可以结合先进的DG方法和数值稳定的损伤演化。通过确保有限元阵列的时间连续性[13]、[19]、[20]，即可获得数值优势。 我们在三个简单问题中应用了断裂建模方法，以展示稳健的非线性求解器收敛性，探讨了公式的网格依赖性，并将模拟裂纹与已建立的线性弹性断裂力学理论进行了验证。然后，我们展示了使用现代求解器进行的高阶精确离散化的动态失效问题。最后，我们回到普渡大学损伤力学挑战赛中考虑的明显三维断裂问题，以说明所提出的方法如何解决上述缺陷。

部分内容摘录

用于界面损伤的不连续Galerkin框架

我们考虑由拉格朗日力学初始边界值问题描述的定义在域Ω中的物体，该问题通过力学平衡方程数学表示：${?}_0·P+{\rho }_{0}B={\rho }_0\ddot{\phi }\text{在}\Omega$ $F={?}_0\phi \text{在}\Omega$ $P=\bar{P}(F,\dot{F})\text{在}\Omega$ 以及本构关系：$\phi =\stackrel{}{\phi }$ 以及适当的边界条件：放置和牵引条件：$\phi =\stackrel{}{\phi }$ 其中?₁Ω和?₂Ω划分了边界

数值示例

在本节中，我们首先考虑三个经典问题，以展示所提出方法的能力和优势。然后，我们展示了该公式在各种大规模三维失效问题中的广泛应用，包括引言中讨论的问题。

结论

我们提出了一种基于不连续Galerkin公式的数值断裂分析框架，该框架假设弹性卸载并一致地积分分离过程。该方法保持可微性，并且通过断裂韧性自然得到正则化，从而能够稳健地分析大规模断裂问题。该方法已在动态剥落、平面应变准静态断裂和三维压痕裂纹等情况下得到验证。

致谢

本材料部分基于美国陆军DEVCOM ARL陆军研究办公室通过MIT士兵纳米技术研究所提供的资助（合作协议编号W911NF-23-2-0121）。作者感谢Raúl Radovitzky教授的有益评论和讨论。

CRediT作者贡献声明

丹尼尔·皮卡德：撰写——审稿与编辑、撰写——原始草稿、可视化、验证、软件、项目管理、方法论、数据管理、概念化。

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