三维弹性体与二维板耦合问题的混合有限元方法：非匹配网格下的稳定分析及数值实现

《Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering》：The coupling of mixed and primal finite element methods for the coupled body-plate problem

本文针对三维弹性体与二维板结构的耦合问题，提出了一种基于Hellinger-Reissner变分原理的混合有限元（MFEM）与原始有限元耦合的新弱形式。该方法在弹性体区域引入应力作为独立变量（H(div;S)空间），板结构采用原始变分形式，从而允许界面处使用非匹配网格，并将位移连续性条件转化为体的自然边界条件。文章建立了该混合弱形式的适定性，给出了协调和非协调有限元方法的离散稳定性及误差估计框架，并提供了具体单元示例（如Argyris元、Morley元）。通过数值实验验证了理论结果，并基于区域分解给出了高效的共轭梯度界面迭代算法。

　　

章节精选

亮点

本文为耦合体-板模型提出了一种新的弱形式，该形式在弹性体上采用混合（Hellinger-Reissner） formulation，而在板上保留原始形式。通过引入应力作为独立变量，该方法允许直接逼近应力，并由于位移连续性条件成为体的自然边界条件，从而支持界面处的非匹配网格。

混合弱形式

本节为耦合体-板模型引入了一种新的弱形式。该弱形式通过引入应力σ^α作为辅助变量，对体α采用混合形式，而对板采用原始形式。

令V^α:= L²(α; R³)。定义H₀₀^1/2(?α\Γ; R³)为满足其零延拓到?α后属于H^1/2(?α; R³)的H^1/2(?α\Γ; R³)中函数v^α的集合[43]。定义

Σ^α:= {τ^α∈ H(div,α; S); 〈τ^αn^α, v^α〉_?α= 0 对于所有 v^α∈ H₀₀^1/2(?α\Γ; R³)},

其中对偶积中的v^α表示H₀₀^1/2中函数的零延拓。

有限元方法

本节为耦合体-板模型的新弱形式(11)提供了协调和非协调有限元方法。在一定假设下，分别建立了离散稳定性并推导了误差估计。提供了具体示例进行说明。

令α和β分别由一族形状规则的四面体网格T_h^α和三角形网格T_h^β剖分。注意允许界面Γ上的非匹配网格。令h_K^α...

数值实验

本节通过数值实验验证理论结果。此外，利用区域分解将问题简化为界面问题，并通过共轭梯度迭代有效求解。

在本节中，为简便起见，缩写(PP)代表基于位移的公式(8)，即对体和板均采用原始形式。缩写(MP)代表本文提出的新公式(11)...

结论

本文基于新的混合弱形式，为耦合体-板问题开发了一个有限元框架，该框架对体采用Hellinger-Reissner形式，对板采用原始形式。建立了混合弱形式的适定性。在一定假设下，为协调和非协调有限元方法推导了离散稳定性和误差估计。提供了两对具体的协调和非协调有限元...