从离散断裂网络解析流到有效渗透率：一种基于校正理论的同质化方法

《Applied Mathematical Modelling》：From Discrete Fracture Network-Resolved Flow to Effective Permeability: A Corrector-Theory Homogenization Approach

孔隙介质水力特性均质化理论研究中，基于随机偏微分方程均质化框架，提出融合离散裂隙网络模型（pEDFM）与修正器方程的数学方法，通过有限体积-双点通量近似法实现裂隙介质渗透率的跨尺度预测。相较于传统Oda方法和双孔隙模型，该方法在代表单元问题和储层尺度上展现出更精确的渗透率计算及裂隙相互作用表征优势。

　　

K. Martins | R. Quevedo | D. Roehl | Celso Romanel

Instituto Tecgraf – PUC-Rio

摘要

本研究提出了一种严谨的数学方法，利用校正器理论在偏微分方程（PDE）均匀化框架内对断裂多孔介质的水力特性进行放大处理。该方法详细阐述了将极限过渡的数值类比应用于由达西定律控制的质量守恒方程的过程，该方程在随机分布有(d-1)维子流形的d维域中。通过使用有限体积法与两点通量近似（TPFA）和基于投影的嵌入式断裂模型（pEDFM）算子，解决了包含岩石基质与断裂之间以及断裂间相互作用的控制PDE。然后通过一种半经验方法计算均匀化渗透率，该方法在极限情况下涉及$\epsilon \to 0$。最后，将所提出的方法与广泛使用的Oda方法和双孔隙度-双渗透率方法进行了比较，突出了该方法在两种不同尺度（堵塞尺度和水库尺度）上的优势和差异。

引言

在过去五十年中，偏微分方程的均匀化理论得到了广泛发展，这主要是由于需要模拟具有复杂多尺度结构的材料和介质。Cioranescu和Donato [1]以及Tartar [2]的工作为穿孔和异质域中的均匀化建立了数学框架。Allaire [3]的一项开创性工作研究了周期性穿孔域中的流体流动，表明在障碍物密度增加的情况下，Stokes方程和Navier–Stokes方程的解会收敛到有效的均匀化模型。这项分析的一个关键结果是Brinkman型定律[4]的出现，该定律通过一个额外的耗散项捕捉了微观障碍物的宏观影响。 随后，Allaire [5]引入了双尺度收敛的概念，这已成为现代均匀化理论的基石。这一框架为分析振荡序列和具有快速变化系数的PDE提供了严谨的工具，确保了L2(Ω)范围内的紧凑性和收敛性，并实现了基于校正器的近似，从而在微观和宏观描述之间建立了桥梁。 从数值角度来看，Allaire等人[6]提出了一种用于具有高度振荡系数的椭圆问题的多尺度有限元方法。他们的方法结合了粗略的全局离散化和局部的细尺度校正，从而在避免共振效应的同时实现了精确的数值均匀化。Blanc等人[7]进一步扩展了该方法，适用于具有局部扰动周期性系数的椭圆方程，涵盖了周期性和随机性框架。他们的工作提供了明确的均匀化张量和一阶近似，对于含有局部缺陷的介质尤为重要。Blanc等人[8]后来将这一框架扩展到了对流-扩散方程，引入了无穷远处的次线性校正器和不变测度，使得能够处理以传输为主的多尺度问题。 在随机环境中，Cencès等人[9]提出了一种嵌入式校正策略，通过解决嵌入在均匀介质中的有界域上的辅助问题来计算均匀化系数。这种方法显著降低了计算成本，同时保持了向真实均匀化张量的收敛性，非常适合复杂的随机微观结构。 最近，Altmann等人[10]提供了一种统一的变分视角，用于超越严格尺度分离的数值均匀化方法。他们的框架将解分解为粗尺度和细尺度分量，使得能够在高度异质介质中对椭圆、波动和电磁问题进行局部均匀化。 尽管PDE的均匀化理论已经成熟，并且有了先进的数值工具，但水库工程实践传统上依赖于更简单的放大策略来估计断裂介质的等效特性。Battiato等人[11]提供了这些技术的全面概述，他们回顾了在多孔介质建模中使用的经典和现代方法。其中，体积平均方法通过在对代表性基本体积上平均微观量来推导宏观平衡方程，从而实现对复杂微观结构的统计表示。混合理论提供了一种基于连续体的替代框架，将固体和流体相视为相互渗透的连续体，并为多相系统提供本构关系[12]。从热力学的角度来看，受限平均理论（TCAT）将热力学一致性直接嵌入到平均过程中，为在复杂多孔系统中推导宏观方程提供了严谨的方法。 均匀化理论构成了一个数学上严谨的放大框架，特别适用于具有重复或统计规则微观结构的介质。通过使用多尺度展开和双尺度收敛，均匀化能够捕捉微观异质性对宏观行为的影响。作为补充，重整化群技术已被应用于多尺度系统，通过系统地消除小尺度波动来推导有效的大尺度模型[13]。 对于断裂多孔介质，Berre等人[14]提供了概念性流动模型的详细回顾。连续体模型通过有效渗透率张量隐式表示断裂，适用于裂缝稀疏的系统。多连续体模型，如双孔隙度公式，明确区分了断裂和基质连续体，允许不同的流动机制[15]。当断裂几何结构起主导作用时，离散断裂模型（DFM、EDFM、pEDFM）明确表示单个断裂，以捕捉详细的流动模式[16]。在基质渗透率可以忽略的极限情况下，离散断裂网络（DFN）模型仅在断裂网络内描述流动，为高度断裂或低渗透率地层提供了高保真度的表示[14]。 Sadighi等人[17]提出了一种有用的技术，通过使用相似性简化将控制PDE转换为低维ODE。该研究展示了一种与均匀化方法概念上一致的系统性尺度缩减策略，其中复杂的多尺度传输现象通过有效参数来表示。 尽管显式断裂表示提供了高精度，但其计算成本可能非常高。连续体映射方法，如Botros等人[18]提出的断裂连续体方法，通过将断裂网络映射到结构化网格上来解决这一限制，同时保留了关键流动特性。这种方法使得可以使用传统的水库模拟器，降低了计算复杂性，并结合了经验校正来考虑增强的网格连通性。 Abouelregal等人[19]通过功能分级属性对空间异质性进行建模，并通过积分变换技术简化了控制方程，遵循了与均匀化密切相关的尺度缩减哲学，其中微观尺度材料变化被嵌入到有效的宏观描述中。 任何放大或均匀化程序的有效性都严重依赖于断裂与域之间的尺度比，正如Cioranescu和Murat [20]所指出的，不同的尺度制度会导致不同的有效控制律。在断裂介质中，Dreuzy等人[15]证明，与理想化的平行板模型相比，开口异质性可以显著降低等效透射率，最多可降低六倍。这些效应源于局部断裂尺度异质性与网络拓扑之间的相互作用，导致瓶颈、连通性丧失以及流动路径的强烈统计变异性。 类似的多尺度和耦合物理方法已应用于不同领域的异质介质，包括Hobiny等人[21]研究的半导体中的热弹性和传输过程。 这篇简要回顾激发了采用等效连续体描述高度断裂介质的必要性，并通过来自离散断裂表示的校正进行补充。在本工作中，这种联系是通过基于具有振荡系数的PDE极限的严谨均匀化框架建立的，该框架适用于具有Lipschitz边界的域的数值实现。

章节摘录

校正器方程的推导和放大后的渗透率

在本研究中，我们将均匀化过程应用于Tene等人[22]提出的基于投影的嵌入式离散断裂方法（pEDFM）派生的质量平衡方程，并由Jiang和Younis[23]进一步发展。该方法将宿主岩石表示为一个包含(d-1)维结构的d维流形，这些结构模拟了断层或裂缝。由此产生的质量平衡方程与岩石基质和裂缝相关联。

堵塞尺度上的比较：等效渗透率的计算

表2展示了使用本研究提出的方法与原始Oda方法得到的结果之间的比较。同样，表3将所提出方法的结果与直接数值模拟（DNS）得到的结果进行了比较。在DNS方法中，断裂介质的渗透率是基于出口面的流速和施加的压力梯度计算的。

结论

本研究提出了一个数学上一致的放大框架，用于断裂多孔介质，通过结合离散断裂网络（DFN）、基于投影的嵌入式离散断裂建模（pEDFM）和椭圆偏微分方程的随机均匀化理论。主要贡献和发现可以总结如下： - 严谨的均匀化框架：在与DFN相关的流动算子相关的单元（校正器）问题在随机框架内得到了形式化和证明。

术语表

V′ × V	V′中的元素与V中的元素之间的对偶配对
	基质岩石中α相流体的相对渗透率
$r^0\alpha$
$R^{}$	d维实数空间
$Z^{}$	d维整数格子
Ω0	表示基质岩石的d维数学域
Ωi	表示第i个断裂的(d-1)维数学域
A*	均匀化的椭圆系数矩阵
Aε	具有两个尺度值的椭圆系数矩阵

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：撰写 – 审稿与编辑。 ：撰写 – 审稿与编辑，项目管理。 ：撰写 – 审稿与编辑。