理查兹方程（RE）在模拟非饱和多孔介质（如土壤）中的水分运动方面具有重要意义。该方程基于质量守恒原理和达西定律（Darcy’s law）推导而来，能够同时考虑毛细作用和重力的影响[1]。它为研究水文学、农业和环境科学中的关键过程提供了数学框架。在当前科学领域，该方程在多个活跃的研究前沿发挥着重要作用。理查兹方程有三种表达形式：“压力水头（h）”、“含水量（θ）”和“混合形式”。过去几十年中最常用的形式是基于θ和基于h的形式。1989年，Hills等人[2]指出，在干旱土壤中，基于θ的形式比基于h的形式更有效；然而，在完全饱和的介质中则不然。后来发现，基于h的形式在饱和和非饱和介质中都适用[3]。1990年，Celia等人[4]指出，基于h的形式在质量守恒方面存在问题。而混合形式的理查兹方程能够正确地守恒质量，并适用于饱和和非饱和条件[5],[6]。本研究采用了这种混合形式的理查兹方程。
文献中存在多种用于求解理查兹方程的标准模型，包括Brooks和Corey模型（BCM）、Gardner模型（GM）以及范格努赫滕模型（VGM）。大多数解析解都是使用Gardner模型获得的，因为它可以将方程转化为线性形式。然而，使用其他标准模型时，理查兹方程会变得非线性，使得解析解难以获得或根本无法求解。Gardner模型是最常用的土壤水分保持曲线（SWRC）模型之一，主要是因为它能够推导出解析解。1991年，Srivastava等人[7]在均匀和分层土壤介质中推导出了理查兹方程的解析表达式。2007年，Menziani等人[8]提出了线性化理查兹方程的解析解。2012年，Huang等人[3]为水平和垂直入渗情景下的1D理查兹方程提供了解析表达式。Sanayei等人[9],[10]将这些解扩展到了1D、2D和3D情况，并考虑了多种边界条件。最近，在2022年，Wu等人[11]为植被斜坡中的理查兹方程推导出了解析表达式。
这些解析解是基于Gardner指数模型获得的。然而，使用VGM的解析表达式较为有限，通常仅适用于简化或稳态情况[12],[13]，因为VGM引入了非线性，使得精确解难以获得。
对于求解具有范格努赫滕关系的复杂问题（如理查兹方程），数值方法具有显著优势。文献中存在多种用于求解1D、2D和3D域中理查兹方程的数值算法[14],[15],[16],[17],[18],[19],[20],[21]。其中，有限差分方法因其易于实现、简单以及能够直接扩展到高维情况而特别受到青睐。
在本研究中，通过有限差分方法分析了使用VGM时的含水量行为。尽管文献中有多种SWRC模型，但由于Gardner模型与解析结果的兼容性，研究人员仍倾向于使用它。然而，尽管VGM能够准确表示土壤水分动态，其应用仍然相对有限。Ghezzehei等人[22]研究了VGM与Gardner模型之间的对应关系，并推导出了两个模型参数之间的关系，特别是αVG、n和αG，其中αVG和n是VGM的参数，αG是Gardner模型的参数。这种关系为两个模型之间的数学联系提供了依据，有助于不同SWRC表示方法的参数比较和转换。
本研究旨在提供一个高效的数值模型，以更真实地测量非饱和介质中的含水量。本文展示了不同土壤样本中的含水量行为，并将其与Hydrus 1D解进行了比较[23]。为了准确测量含水量，我们将数值结果与实验室实验数据进行了对比，发现数值模型与实验结果非常吻合。VGM的土壤参数值是通过将模型拟合到Haverkamp等人[24]的实验室结果，并使用Hydrus 1D软件解法得到的。相应的Gardner参数是根据[22]中的方法确定的。本数值模型与其他近似方法进行了比较，结果显示其更为准确。
本研究的新颖之处在于，计算出的含水量剖面在准确性和计算性能方面均优于实验结果。所获得的数值结果可以作为准确性和计算性能的基准。为了进一步扩展数值方法，本文还提出了理查兹方程的2D和3D解。
本文的各个部分说明如下：第2节介绍了所研究的理查兹方程。第3节发展了Crank-Nicolson有限差分方案及其线性化方法，并讨论了1D情况下含水量的行为，包括与解析解、Hydrus解、实验室数据以及其他方法的结果的对比。第4节总结了整个研究工作。
