一种用于具有两层结构的层流两相流模型的强大精确黎曼求解器

《Applied Mathematics and Computation》：A robust exact Riemann solver for a laminar two-phase flow model with two layers

生物群体行为与环境资源的动态耦合机制研究。本研究提出一种结合随机过程的双向反馈动态模型，扩展了传统进化博弈论框架，通过分析内部平衡点和随机渐近稳定性，揭示了不同随机性水平下的小幅振荡、增强震荡和不稳定波动的动态模式，深化了对行为与环境协同进化的理解。

　　

赵小倩|胡凯鹏|陶宇薇|史磊

云南财经大学统计与数学学院，中国昆明，650221

摘要

生物种群的行为模式和动态受到交互结果和环境资源共同影响的作用。先前研究中提出的众多共同进化机制将生物行为的探索扩展到了系统层面建模，加深了我们对长期种群动态的理解。然而，从建模的角度来看，确定性动态框架往往无法捕捉到许多微妙的现实世界因素，从而限制了其预测的可靠性，尤其是在关键系统结果方面。为了解决这一局限性，本研究通过引入独立随机过程来构建一个具有双向反馈机制的随机动态模型。该模型描述了集体行为与环境状态之间的共同进化动态，并推导出了内部平衡点和随机渐近稳定性的分析条件。数值模拟不仅验证了理论结果，还揭示了在不同随机性水平下出现的多种动态机制，包括接近平衡时的小幅振荡、放大振荡和不稳定波动。这项研究从随机动态的角度加深了我们对行为与环境共同进化的理解，并提供了一个基本的理论框架。

引言

合作行为是生命的一个标志，其范围从微生物群落到人类社会，它既维持了生态功能也促进了社会组织[1]，[2]，[3]。然而，合作是有代价的：个体必须牺牲个人利益以产生他人共享的利益，从而在自身利益与集体福利之间产生了内在冲突[4]，[5]。这些社会困境在自然系统和社会系统中都很普遍，核心的持久挑战在于理解合作是如何产生、演变并在冲突中持续存在的。1973年，Smith和Price提出的进化稳定策略（ESS）模型实现了重大的理论突破[6]。他们的框架为进化博弈论奠定了基础，此后进化博弈论成为分析生物和社会背景下的群体行为的重要工具[7]，[8]，[9]，[10]，[11]，[12]，[13]。

基于进化博弈论，大量研究探讨了在固定环境条件下促进合作的机制。然而，这些研究通常假设收益结构和外部条件在整个进化过程中保持不变[14]，[15]，[16]，[17]。在真实的生态系统中，个体行为和外部环境很少是独立的；相反，它们通过长期互动形成了一个共同进化过程[18]。集体行为可以通过资源消耗、环境退化或恢复来改变环境状态，而环境变化反过来又重塑了个体的激励和战略选择[19]，[20]，[21]。正是在这种共同进化的背景下，后续研究强调了仅基于固定环境的进化博弈框架在捕捉行为与环境之间的双向动态方面的局限性。因此，研究人员引入了包含环境反馈机制的共同进化博弈模型，在这些模型中，行为动态与环境反馈过程被明确地耦合在一起[22]。

在共同进化研究中，一系列开创性工作从不同角度展示了环境反馈机制对合作进化过程的深远影响。最值得注意的是，Weitz等人[23]揭示了公地悲剧的循环，其中系统在环境资源枯竭和丰富状态之间振荡，因为合作行为和背叛行为交替出现。这种动态为预测、控制和引导反馈驱动的游戏带来了新的挑战。这种振荡的发生是因为经典博弈论模型通常忽略了个体战略选择的长期环境后果。Tilman等人[24]提出了一个“生态进化博弈论”框架，用来描述由内在增长、下降和临界点主导的环境类型。他们分析了战略和环境动态如何受到玩家激励机制和行为调整率的共同约束。在行为与环境共同进化的研究框架内，现有工作从多个角度扩展了反馈进化博弈模型，无论是对象还是形式。例如，Chen等人[25]在可再生公共资源的背景下构建了反馈演化博弈模型，在该模型中，战略演化与资源状态的动态变化明确耦合，并纳入了惩罚和检查等制度机制，以揭示内在资源动态在维持集体合作中的关键作用。同时，Hua等人的最新研究[26]将共同进化思维扩展到博弈环境中的关键参数。在集体风险社会困境的框架内，他们开发了一个反馈进化博弈模型，描绘了个体策略与困境强度之间的双向耦合，从而丰富了行为-环境共同进化研究的范式。在涉及依赖反馈的战略的进化博弈研究中，Wang等人[19]建立了一个从双人博弈扩展到公共物品博弈的数学框架。Su等人[27]开发了一个包含博弈转换机制的进化模型，揭示了个体行为如何通过改变后续博弈环境来影响长期进化结果。Huang等人[28]根据设置与策略之间的非线性相关性构建了一个非线性进化模型，运用复制动态和预期动态来讨论群体决策的进化后果。空间博弈也被用来研究环境反馈如何促进和维持群体合作[29]，[30]，[31]。这些研究表明，环境反馈不仅仅是一个被动的外部干扰，而是塑造合作行为进化模式的关键内在机制。

上述研究主要描述了行为与环境之间的确定性耦合。然而，越来越多的证据表明，环境动态和群体决策中的不确定性可以深刻地重塑进化结果[32]，[33]，[34]。真实的生态系统受到气候变异性、资源可用性的波动以及捕食压力变化的影响——这些因素引入了确定性模型无法捕捉的微妙随机影响[35]，[36]，[37]，[38]。同时，有限理性和信息不完全性带来了额外的行为不确定性层次，进一步复杂化了集体决策[39]。这些不确定性来源共同突显了纯确定性框架的局限性，并强调了需要整合随机生态和行为过程的模型的必要性。例如，Wang等人[40]研究了不确定性和风险偏好如何影响社会行为的进化，考虑了关于收益的不确定性和个体对风险的反应。May[41]在生态研究中指出，由于自然环境的随机波动，出生率、环境承载能力和竞争系数等关键参数难以保持在恒定水平。与Hines对由突变引起的稳定性问题的分析[42]不同，Foster等人[43]进一步提出了随机动态系统中的稳定性的一般定义，揭示了扰动可能从根本上改变系统的渐近行为。Feng等人[44]研究了环境扰动如何影响石头-剪刀-布游戏中的周期性主导现象，基于It?随机微分方程建立的随机稳定性理论框架，同时也研究了具有随机收益的连续时间动态游戏的稳定性属性。这些研究表明，随机性不仅仅是一个外部干扰，而是塑造进化动态的关键内在机制。

基于此，我们将随机项纳入具有反馈机制的耦合共同进化博弈框架中，以描绘不确定性如何影响群体决策与环境条件之间的共同进化过程。通过制定耦合随机微分方程，本研究分析了系统内部平衡点的随机渐近稳态，并使用数值模拟来验证理论标准和动态特性。

部分摘录

确定性反馈进化博弈模型框架

我们的研究基于Weitz等人的反馈进化博弈框架[23]，其中标准化的环境状态∈[0, 1]代表生态系统质量（对于完全退化的环境，$s=0$；对于资源丰富的环境，$s=1$），种群参与一种两策略博弈——合作（C）与背叛（D）——收益取决于；集体行为反过来又改变了环境质量。根据这一框架，该博弈的收益矩阵为：$\Pi \left(s\right)(1?s)\left(\begin{array}{cc}{R}_0& S_0\\ T_0& P_0\end{array}\right)$

结果

我们进行了一系列数值模拟，以探索随机效应和反馈机制如何共同塑造合作的进化动态。为了确保普遍性，参数被选为常见的博弈论场景，而初始条件固定在$x_0=s_0$。以下结果揭示了不同随机性水平如何影响系统稳定性和行为与环境之间的耦合。

结论

为了本研究的目的，我们提出了一个包含随机项的共同进化博弈模型，该模型系统地捕捉了群体行为与环境状态之间的双向反馈。该模型不仅扩展了传统的复制动态框架，还整合了由σ_x和σ_s调节的随机过程，使得行为进化和环境状态能够同时受到噪声的影响。

我们推导出了随机微分方程

CRediT作者贡献声明

赵小倩：撰写——原始草稿，撰写——审阅与编辑，概念化。胡凯鹏：概念化，软件，方法论。陶宇薇：概念化，撰写——审阅与编辑。史磊：概念化，资金获取，方法论。

利益冲突声明

无。