《Proceedings of the National Academy of Sciences》：Functional motifs in food webs and networks
功能基序在食物网和网络中的作用
研究意义
理解复杂系统如何响应扰动以及系统的哪些部分在受到干扰时可能产生剧烈反应，是跨学科研究的一个主要挑战。以食物网为例，研究表明，系统对扰动的即时响应，即反应性，通常由网络内的小型基序引起。在生态学数据稀缺的情况下，这有助于识别相互作用物种亚群中风险最高的部分。该方法也适用于其他复杂网络，从流行病中检测风险朋友群体到追踪电网中级联故障的局部起源。
摘要
在研究复杂系统时，将其视为相互作用单元的网络通常很有用。然后可以探究整个网络的某些特性是否已经由网络的一小部分，即网络基序，所解释。生态学中一个著名的基序例子是食物网中的开发性竞争，其中两个物种竞争共享资源的存在排除了整个系统存在稳定平衡的可能性。然而，具有如此直接影响稳定性的其他基序例子尚不为人知。本文解释了为何能对系统稳定性得出结论的小基序很罕见。更重要的是，研究表明另一种动力学特性——反应性，通常植根于基序。计算基序的反应性可以揭示网络的哪些部分容易对扰动产生剧烈响应。这凸显了基序反应性作为现实世界系统中一个有用的度量特性，有助于理解食物网或其他网络（如流行病、供应链或电网）中系统性故障的可能模式。
功能稳定性基序
考虑一个多变量动力系统，其动力学由微分方程组描述。我们可以将此类系统视为一个网络，其中节点对应变量，加权的有向连接表示变量对之间的相互作用。
局部渐近稳定性这一常见稳定性概念，可以通过研究动力学行为附近所谓的特征解来计算。在最简单的情况下，所考虑的行为是稳态下的平稳性。附近的动力学则由雅可比矩阵 J 捕捉，特征解通过求解特征方程 Jv = λv 获得，其中 v 是特征向量，λ 是对应的特征值。具体而言，如果所有 λ 的实部均为负，则稳态是稳定的。
由于存在单个非负雅可比矩阵特征值就会使系统不稳定，因此，如果一个部分的存在意味着至少一个特征值将具有非负实部，那么该部分就是一个功能稳定性基序。
特定基序的存在可以通过两种不同方式暗示动力学不稳定性：首先，基序的存在可能规定必须存在一个特定的特征值；其次，给定的基序可能表明存在一个超过某个界限的特征值，而不规定确切值。下文分别称这些情况为第一类和第二类功能基序。
对于第一类基序，基序的存在直接导致特定特征值的出现。通常，大型矩阵的特征值并非源于小基序，而是从矩阵整体中涌现。矩阵扰动理论的结果表明，导致特征值的节点集由相应的特征向量指示。特征向量扮演双重角色：首先，如果对应的特征值为正，它指示了系统可能逃离的方向；其次，更重要的是，特征向量指示了特征值对其敏感的节点。
在具有 N 个变量的系统中，雅可比矩阵特征向量包含 N 个元素，每个元素对应一个变量。如果归一化后的特征向量在某个元素上值很大，则对应的变量对相关特征值有很强的影响。相反，一个小的元素意味着对应的变量只有微弱的影响，而零元素意味着特征值（至少局部地）独立于该变量。因此，如果存在一个正特征值，其对应的特征向量在基序之外的所有节点上均为零，则可以说该网络具有第一类功能稳定性基序。
开发性竞争示例
竞争排斥原理的常见推导通常始于考虑两个专性竞争者种群组成的系统，其形式为 ? = Gx(R)X - mxX 和 ? = Gy(R)Y - myY，其中 X 和 Y 是两个种群的丰度或生物量，m 是各自的死亡率，G 是生长率，变量上方的点表示随时间的变化。变量 R 是两个竞争消费者种群所开发的资源，并且可能与许多其他物种相互作用，这些物种对竞争消费者没有直接影响。R 以及系统中任何其他变量的动力学对于论证并非必需，因此在此省略。
可以证明，物种的共存只有在某个参数选择得恰到好处时才可行，但这被认为在自然界中是不太可能的。然而，这种推理受到批评，因为它将对通用性的论证应用于一个内置了简并性的建模假设。
转而考虑稳态（如果存在的话）的稳定性。对于任何这样的稳态，特征向量方程可以通过形如 v = (b2, -b1, 0, 0, ...)T 的向量来求解，对应的特征值 λ = 0。该示例表明，开发性竞争基序意味着存在一个零特征值，而与系统其余部分的相互作用无关。因此，任何涉及由方程描述的未受控消费者竞争的系统都排除了网络的渐近稳定性。
稳态共存的不可行性通过微积分的隐函数定理与这个零特征值的存在相关联。如果雅可比矩阵有零特征值，解会发散，预示着解的突变和平衡态的 typically 湮灭。
功能稳定性基序很罕见
开发性竞争示例说明，如果对应于基序外部节点的特征向量元素为零，则特征值由小基序决定。这种除了在小的基序上之外其余部分为零的特征向量称为局部化特征向量。现在可以断言，第一类功能稳定性基序要求雅可比矩阵存在局部化特征向量。
在连通网络中，精确的局部化，即基序外部的特征向量元素恰好为零，仅出现在网络存在某些对称性的情况下。在无权网络中，这些对称性以及由此产生的局部化特征向量很常见。然而，在雅可比矩阵的网络表示中，即加权网络，连接权重也必须满足某些对称条件才能允许特征向量局部化。具体来说，一个向量是特定基序的局部化特征向量，如果：i) 它是该基序孤立时的特征向量；以及 ii) 特征向量元素在允许外部节点连接的基序内那些节点上为零。
例如，考虑修改后的系统 ? = F(R)X - mX1+p 和 ? = F(R)Y - mY1+p，其在 X*= Y*> 0 处有稳态。包含 R 的基序孤立时的雅可比矩阵具有结构，其中向量 (1, -1, 0)T 是一个特征向量，且对应于 R 的元素为零，这创建了一个可以连接其他部分的点。因此，该基序是第一类功能基序。
对应局部化向量的特征值是 λ = d = -mp(X?)p。因此，如果 p ≤ 0，它在网络中的存在会 destabilize 系统，但如果 p > 0 则不会，这是一个已知的结果。
在此示例中，局部化的出现是因为我们假设两个竞争者行为完全相同，保持了物种间的完全对称性。虽然可以找到非对称的例子，其中偶然的抵消恰好满足条件，但这些同样是特殊情况。当搜索满足两个条件的向量时，仅条件 i) 就将选择范围缩小到一组有限的候选者，因为孤立的基序只有有限的特征向量集。这些特征向量中任何一个能够精确满足条件 ii) 的概率是零测度的，除非存在对称性。具有线性增长率的开发性竞争基序避开了上述逻辑，因为基序块只包含零，而零矩阵的每个向量都是其特征向量，这使得满足第一个条件变得容易。
功能稳定性基序的途径
第一类功能稳定性基序还有一些额外的产生方式。虽然对生态学的影响大多已知，但提供一个简要而全面的概述是有价值的。
我们已经看到，最初的开发性竞争基序之所以是功能基序，是因为它假设了线性增长率和基序内部缺乏相互作用。只要我们有足够的自由度来满足相邻节点的条件，即只要基序内的节点数大于相邻节点数，这就会创建一个功能基序，这等价于竞争排斥原理的一般表述。
我们的第二个例子是由于假设了相同的动力学而产生的功能基序。如果雅可比矩阵存在非平凡对称性，即变量的顺序可以改变而矩阵保持不变，则该基序是功能基序。在实践中，这需要假设存在行为完全相同的变量集。在生态学中，作为近似，这个假设可能是合理的，因为有许多物种看起来功能冗余。
实现特征向量局部化的一种平凡方式是断开连接或单向连接。如果系统的一部分与其余部分完全不相互作用或仅单向相互作用，那么特征值也将保持在其各自部分局部化。这种系统部分的隔离很罕见，因此在大多数应用中这种情况无关紧要。
如果特征向量精确局部化的条件不满足，有时仍然可以有近似局部化，类似于物理系统中的安德森局域化。在这种情况下，来自基序的特征向量会溢出到网络的其余部分，但特征向量元素随着与基序距离的增加而呈指数衰减，导致特征值几乎独立于基序外的节点。
当子图能够维持与网络其余部分非常不同的特征值时，会出现近似局部化。例如，如果一个紧密联系的群落只与一个更稀疏或在不同时间尺度上运行的更广泛网络弱相互作用，则会出现近似局部化的特征向量。因此，近似局部化可能为事后证明建模的合理性提供了依据，例如将湖泊内的水生食物网与周围的陆地系统分开建模，或者在不考虑无脊椎动物和微生物的情况下建模哺乳动物食物网。在这些情况下，预计特征向量会近似局部化，使系统对更广阔的世界不敏感。因此，例如，湖泊食物网可以在更广泛的生态系统中成为一个功能基序。
总之，本小节表明，存在一些导致第一类功能基序的场景。然而，这些场景相对罕见，并且其后果在生态学中已经众所周知。现在让我们转向第二类功能基序，它保证一个特征值将至少具有某个特定值。
在一般动力系统中，特定子图的存在并不约束系统整体的雅可比矩阵特征值。因此，第二类功能稳定性基序仅在特定情况下存在，但在具有对称雅可比矩阵的动力系统子类中普遍存在，即对于所有 i, j 有 Jij= Jji。此类系统出现在耦合振荡器、复合种群和网络上的流行病建模中。
对于对称矩阵，应用柯西交错定理证明整个系统的最大特征值必须至少与系统中发现的任何子图的最大特征值一样大。因此，在具有对称雅可比矩阵的系统中，任何子图都可以充当功能稳定性基序。
功能反应性基序
除了局部渐近稳定性，生态学及其他领域还提出了许多其他稳定性概念。例如，持久性和永久性量化了种群在系统中生存的能力，这对环境问题更具直接相关性，但更难与基序联系起来。Stouffer 和 Bascompte 的一项分析没有发现直接关系，尽管他们指出，孤立时具有较高持久性的基序在食物网中也更常见。
本文关注反应性，它描述了系统对微小扰动初始放大的最大相对增长率。反应性定义为最坏情况下扰动偏离稳态的初始增长率，可计算为雅可比矩阵对称部分 S = (J + JT)/2 的前导特征值。如果反应性为正，则扰动被系统初始放大，系统被称为反应性的。如果反应性为负，则扰动被衰减，系统被称为非反应性的。这意味着任何不稳定系统都是反应性的，而稳定系统可以是反应性的或非反应性的。
由于反应性是作为对称矩阵 S 的特征值计算的，交错定理意味着 S 的最大特征值必须大于或等于 S 中发现的任何基序的最大特征值。换句话说，观察到网络某一部分具有特定程度的反应性，为系统的反应性提供了下界。因此，网络的每个子图都是一个功能反应性基序。
交错定理表明，在网络某一部分产生的反应性不能被该部分之外的结构所补偿。这令人兴奋，因为它开启了在生态网络中搜索作为反应性主要来源并因此在受到干扰时构成系统性风险的部分的可能性。
交错定理还告诉我们，整个系统的反应性大于任何孤立子系统或部分的反应性。因此，我们需要探究反应性是否主要是一种系统性属性，以至于其主要部分只有在考虑几乎整个网络时才会出现。如果是这种情况，分析小子图中发现的反应性实际上将是无用的。相反，如果反应性的很大一部分植根于小基序中，那么在现实世界系统中搜索这些局部化的反应性来源就成了一项值得的努力。
为了探究反应性出现的尺度，我们使用生态位模型生成了包含 15 个物种的合理食物网拓扑。然后使用广义建模方法将食物网拓扑转换为动力学模型，参数从合理参数范围内随机抽取。从得到的雅可比矩阵中，我们拒绝了那些对应于不稳定和非反应性稳态的矩阵，因为我们关注的是反应性相关的系统。因此，我们创建了两个包含 104个稳定但反应性系统的雅可比矩阵的集合。一个集合包含具有随机选择参数的随机拓扑，而第二个集合包含针对单个固定网络拓扑随机选择参数的雅可比矩阵。
为了评估小基序是否能解释系统范围反应性的显著部分，我们考虑了个体捕食者-被捕食者相互作用以及小子图，包括所有生态上合理的三节点子图。我们检查了每个基序最具反应性的实例，并将其反应性与整个系统的反应性进行比较。
分析揭示了跨基序反应性的广泛变异，一些基序仅包含少量或中等量的反应性，而其他基序引起的反应性几乎与整个系统一样多。在最极端的情况下，我们发现最具反应性的捕食者-被捕食者链接 alone 在集合 1 中引起了总网络反应性的 ≥99.9%（在集合 2 中 ≥99.3%）。当我们考虑三节点基序时，这个数字在 both sets 中都上升到 ≥99.9%。此外，在 88.3% 的集合 1 网络或 98.2% 的集合 2 网络中，最具反应性的链接 alone 至少贡献了系统反应性的一半。如果我们考虑大小为三的子图，这个值增加到 98.7%（集合 1）和 99.9%（集合 2）。这些结果表明，通常，反应性的主要部分产生于网络的小型局部化部分，这表明在自然界中寻找此类孤立的反应性来源可能是有用的。
为了促进在自然界中搜索反应性基序，量化基序的反应性在多大程度上植根于其拓扑结构与其过程的非线性是有用的。因此，我们检查了集合 2，其中网络的拓扑保持固定，但动力学参数是随机化的。在这个网络中，表观竞争基序是反应性的主要来源，在超过一半的网络中，最具反应性的 AC 基序引起了超过 90% 的系统反应性。绘制节点在最反应基序中的参与情况揭示了两个特定的表观竞争基序在 73% 的随机实现中是最具反应性的。这些结果表明，拓扑在基序的反应性中起着重要作用，尽管动力学因素仍然可以决定哪个基序最终是最具反应性的。
因为小基序的反应性完全在基序内部产生，可以进行详细分析以 pinpoint 导致反应性的因素。虽然详细的数学讨论超出了本文的范围，但我们推测，跨越多个营养级的长捕食者-被捕食者链接对反应性有很强贡献。我们对生态位网络的分析结果表明，表观竞争和三营养级链基序最有可能解释系统中反应性的高比例，而开发性竞争基序似乎影响较小。
结论
我们考察了网络的小部分充当功能基序的条件，即它们的存在具有系统性影响，且不能被更广泛的网络所抵消。我们提出了关于开发性竞争基序在竞争排斥原理中作用的另一种观点，并用它解释了为何类似的功能稳定性基序不太可能存在。然后，我们概述了小子图获得功能重要性的方式，这凸显了反应性作为一种生态学概念，其每个子图都充当功能基序。
我们的数值探索表明，包含两到三个物种的基序通常可以解释模型网络反应性的显著部分。因此，现实世界的食物网很可能包含此类作为扰动强局部放大器的基序。因此，应努力在自然网中识别这些基序，因为它们可能充当扰动的强放大器。
在现实世界中搜索反应性基序可以受益于小基序的数学分析，这可以突出导致高反应性值出现的特定拓扑和非线性。因此，证实自然界中存在这些反应性基序将需要真实世界食物网的数据分析和进一步的数学工作。
虽然我们以食物网为主要例子，但我们相信结果适用于一大类受扰动风险影响的动力系统，范围从电网和供应链到社会影响网络。由于本文所述反应性的数学性质，我们可以说，在这些网络中，每个子图都将是一个反应性基序。然而，确定这些应用中系统的反应性有多少植根于小子图，有多少仅在系统层面出现，将需要后续研究。
我们希望未来的研究，或许受此工作启发，能加深我们对哪些系统特性源于网络部分、哪些源于网络整体的理解。在前一种情况下，可以识别功能基序以将焦点缩小到最关键的部分。在后一种情况下，细节不应重要，从而能够使用粗粒度模型。因此，在这两种情况下，都可以实现简化。关于何时采取哪种途径的进一步见解，最终可能导致复杂系统数学建模的一般理论。
