一种用于多原子气体混合物的统一随机粒子方法

《Computer Physics Communications》：A unified stochastic particle method for polyatomic gas mixtures

本文将统一随机粒子方法（USP）扩展至多原子气体混合物模拟，基于Hild和Pfeiffer提出的ESBGK模型，通过分解碰撞项为宏观与微观部分并协同求解，在流体极限下实现Navier-Stokes方程的渐近保真性和二阶精度。通过一维与二维基准案例验证，包括库埃特流、泊肃叶流、激波及圆柱绕流等，结果表明USP方法与直接模拟蒙特卡洛（DSMC）数据吻合良好，Knudsen数范围宽且计算效率显著优于传统随机粒子方法。

　　

飞飞|刘东辉|谢乐风|任志远|胡远

华中科技大学航空航天工程学院，中国武汉430074

摘要

基于Hild和Pfeiffer提出的椭球统计BGK（ESBGK）模型[J. Comput. Phys. 514, 113226 (2024)]，将统一随机粒子（USP）方法扩展到多原子气体混合物的模拟中。通过将碰撞项分解为宏观和微观部分，并结合粒子运动求解宏观部分，USP方法实现了纳维-斯托克斯方程的渐近保持特性以及在流体极限下的二阶精度。该方案通过一些一维和二维基准案例进行了验证，包括库埃特流、泊肃叶流、冲击波以及绕圆柱体的高超音速流。USP方法的结果与直接模拟蒙特卡洛（DSMC）数据在广泛的努森数范围内吻合良好。此外，与传统的随机粒子（SP）方法相比，USP方法显示出更高的精度和效率，使其成为处理复杂多尺度气体动力学问题的更合适选择。

引言

多尺度气体流动在航空航天和半导体工程中很常见，其中流动状态经常在连续态和稀薄态之间转变。在这种情况下，基于纳维-斯托克斯方程的宏观模拟方法变得无效；因此，需要基于玻尔兹曼方程的微观方法。最广泛使用的微观方法之一是直接模拟蒙特卡洛（DSMC）方法[1]。通过直接建模和计算分子碰撞，DSMC方法可以模拟稀薄气体流动中的大多数非平衡现象，包括涉及内能、气体混合物和化学反应的现象。然而，需要单独计算二元碰撞的要求也限制了DSMC方法的单元格大小和时间步长，分别不能大于平均自由路径和平均碰撞时间。随着气体分子变得更加密集并且碰撞更加频繁，DSMC方法的效率显著降低[2]。

为了克服单元格大小和时间步长的这些限制，基于动力学模型的随机粒子方法（如BGK [3], [4], [5], [6], [7] 和Fokker-Planck [8], [9], [10], [11], [12], [13], [14], [15]）已被开发出来。对于单原子、单物种气体，这些动力学模型通过分子速度[16]或速度分布函数本身的松弛过程简化了玻尔兹曼碰撞项[17]。因此，这些简化的动力学模型可以使用允许更大时间步长的时间积分方案进行数值求解，从而绕过了平均碰撞时间的限制。然而，用松弛过程模拟多原子气体混合物中内能和物种之间的复杂相互作用并不简单。最近的研究集中在将BGK和Fokker-Planck模型扩展到多原子[18], [19], [20], [21], [22], [23], [24]、混合物[25], [26], [27], [28], [29], [30], [31], [32]以及反应性气体[33,34]上。对于本文关注的BGK模型，混合物模型分为两类[25]：单松弛模型和多松弛模型。多松弛模型[35]旨在准确再现物种间的碰撞和能量交换率，尽管它涉及复杂的多组分和多原子气体中物种间松弛项的确定。相反，单松弛模型[36]将物种间的碰撞效应汇总为一个松弛项，从而用单个松弛项表示集体行为。虽然它不能像多松弛模型那样精确模拟单个物种的动量和能量交换，但由于自由参数较少，构建和计算更为简单。最近，Hild和Pfeiffer [37]提出了一种用于多原子气体混合物的椭球统计Bhatnagar-Gross-Krook（ESBGK）模型。他们的结果表明，如果混合物的传输系数从碰撞积分中准确得出，单松弛模型的误差在广泛的努森数范围内是可以接受的。

用动力学模型的时间积分方案替换二元碰撞算子消除了DSMC的时间步长限制。然而，传统的随机粒子方法通常只能在流体极限下实现对欧拉方程的一阶精度和渐近保持（AP）特性[6]，这在模拟多尺度气体流动时会导致显著的数值耗散。这个问题源于粒子运动和碰撞计算的解耦。为了解决这些缺点，最近开发了满足纳维-斯托克斯方程AP特性的统一随机粒子（USP）方法[5,6]。USP方法的核心思想是将碰撞项分解为微观和宏观部分，然后使用半隐式方案求解宏观碰撞部分和粒子运动。这种方法在流体极限下提高了精度和效率。在之前的工作中，USP方法已成功应用于单物种单原子和多原子气体[38]。本文的目标是使用Hild和Pfeiffer引入的ESBGK模型将USP方法扩展到多原子气体混合物的模拟。

本文的其余部分组织如下。第2节回顾了多原子气体混合物的ESBGK模型。第3节介绍了相应的随机粒子方法。第4节讨论了所提出的统一随机粒子方法的构建和分析。第5节通过几个一维和二维基准案例验证了所提出的方案。第6节总结了本文。

章节片段

多原子气体混合物的ESBGK模型回顾

Bhatnagar-Gross-Krook（BGK）模型使用松弛过程简化了玻尔兹曼碰撞项。最近，F. Hild和M. Pfeiffer [37]提出了一种针对多原子气体混合物的ESBGK模型，其表达式为$\frac{?f_s}{?t}+V_i\frac{?f_s}{?x_i}=Q_s=\frac{1}{{\tau }_{BGK}}(f_{G,s}?f_s)$，其中$Q_s$表示ESBGK碰撞项，$f_s(V,{?}_r,{?}_v;x,t$是依赖于时间$t$和位置$x$的分布函数。$V$是分子速度，?r和?v代表分子旋转

基于ESBGK模型的随机粒子方法

本节介绍了一种用于求解BGK方程（2.1）的随机粒子方案，遵循传统的随机粒子方法[3,4,18]。在这种方法中，分子运动和碰撞是顺序处理的，类似于DSMC，碰撞步骤直接从BGK目标分布中重新采样碰撞后的速度。这种算子分割将BGK方程分为两个子步骤：碰撞?fs?t=Qs。

传输步骤是

多原子气体混合物的统一随机粒子方法

在传统的SP-BGK方法中，碰撞项是使用时间积分或隐式方案求解的。当$\Delta t\tau BG\to <mi>\infty </mi>$时，在流体极限下，方程（3.7）表明其解趋向于fG, n+1。因此，传统的SP-BGK方法仅在欧拉方程的层面上满足渐近保持（AP）特性。为了克服这一限制，我们在本工作中提出了一种针对多原子气体混合物的统一随机粒子BGK方法（USP-BGK）。

数值示例

在本节中，模拟了四种典型的1D和2D气体流动，如库埃特流和泊肃叶流、冲击波结构以及绕圆柱体的高超音速流，以验证USP-BGK方法。努森数定义为$Kn=\lambda /L$，其中$L$表示流场的特征长度，即库埃特流和泊肃叶流的板间距，以及圆柱流体的直径。$\lambda$表示气体混合物的平均自由路径，由$\lambda =\sum _{}^{}s=1\underset{{\chi }_s}{\overset{,}{{\lambda }_s}}$

结论

在本文中，统一随机粒子（USP）方法已被扩展用于模拟多原子气体混合物的多尺度流动。为了准确捕捉这些气体混合物的集体行为，采用了Hild和Pfeiffer [37]提出的ESBGK模型。在USP方法中，BGK碰撞项被分解为宏观和微观部分。宏观部分使用梯度展开构建，并与粒子运动一起求解

CRediT作者贡献声明

飞飞：撰写——原始草稿、验证、方法论、形式分析、概念化。刘东辉：撰写——审阅与编辑、验证、软件。谢乐风：撰写——审阅与编辑、软件。任志远：撰写——审阅与编辑、验证。胡远：撰写——审阅与编辑、验证。