在岩土工程中，土壤应变通常非常小。例如，在隧道开挖过程中，大多数周围土壤的剪切应变在0.01%到0.1%之间。Addenbrooke等人（1997年）和Zhang与Yan（2011年）指出，如果在本构模型中忽略土壤的小应变行为，预测的地表沉降槽通常会比实际测量结果更宽更浅。另一方面，考虑小应变刚度可以为基坑挡土墙后的地面沉降提供更准确的模拟（Kim和Finno，2019年）。
在小应变范围内，土壤表现出两个关键的力学特性：高初始刚度和快速刚度衰减。正确描述这些特性对于开发小应变本构模型至关重要。第一组小应变本构模型基于硬化土壤（HS）模型。Benz（2007年）开发了具有小应变刚度的硬化土壤模型（HSS模型），其中剪切模量G是剪切应变γ的幂函数。随着γ的增加，G从高初始值迅速衰减到由胡克定律确定的常规值。由于其简单性和鲁棒性，HSS模型在岩土工程中得到了广泛应用。Darvishi等人（2024年）和Kong等人（2025年）应用HSS模型计算隧道开挖引起的地面变形，并获得了良好的结果。Cudny和Truty（2020年）发现了HSS模型的“超调”问题，即轻微卸载后的重新加载应力-应变关系曲线无法回到初始曲线。他们将应变历史项引入剪切模量的函数中，以限制重新加载的刚度，有效克服了这一问题。Castellón和Ledesma（2022年）采用分段函数表示表观割线剪切模量。在小应变范围内，模量依赖于应变，以捕捉非线性可逆刚度和滞后效应；一旦应变超过某个阈值，模量就变为依赖于应力的形式，并具有下限。
第二组小应变本构模型是在Cam-粘土模型框架内开发的。Whittle和Kavvadas（1994年）提出了MIT-E3模型，其中膨胀指数κ随着应变累积而增加，以反映刚度衰减。基于该模型，Venda Oliveira等人（2021年）发现小应变行为增加了隧道开挖期间的地面垂直和水平位移，从而使沉降槽变得更窄更深。此外，Santos等人（2022年）报告称，MIT-E3模型能够合理预测长期地面沉降。Uliniarz（2016年）通过采用平均有效应力的幂律函数扩展了改进的Cam-粘土模型，并用双曲正切函数描述了割线剪切模量的衰减。基于统一硬化（UH）模型，Yao等人（2016年）用相对应变的双曲正切函数替换了恒定的膨胀指数，并修改了硬化定律，以增强塑性刚度。小应变统一硬化（SSUH）模型能够准确描述从小应变到临界状态的应力-应变关系，以及循环加载过程中的滞后效应。
当将土壤的小应变行为纳入本构模型时，非线性程度显著增加，这给数值模拟中的应力积分带来了挑战。应力积分意味着在一个时间步长内，初始应力值根据本构模型更新为相应的最终值。应力积分算法可以是显式的或隐式的，这取决于刚度矩阵是否由最终应力值（事先未知）确定。显式算法因其简单性和高效性而被广泛使用。Dong（2023年）发现，子步长显式算法特别适用于具有积分难题的复杂本构模型。通过调整子步长大小，可以控制精度。Carow和Rackwitz（2021年）指出，具有误差控制的显式算法更高效，其结果不受初始应力状态或应变增量的影响。Hu和Liu（2014年）发现，当步长较小时，显式和隐式算法的精度相似，但前者速度更快。Hernández等人（2011年）采用了一种混合策略，其中显式应力积分结果通过隐式算法进行外推，以提高收敛性。Vrh等人（2010年）指出，显式算法只需要屈服函数的一阶导数，但最终应力状态点可能会偏离屈服面。Zhang等人（2014年）和Dong（2023年）强调，显式算法是有条件稳定的。其精度和收敛性与步长有关，特别是对于高度非线性的本构模型。
理论上，隐式算法是无条件稳定的。然而，一个关键问题是如何求解非线性方程，包括由时间步长末端的应力值确定的屈服函数、塑性流动规律和硬化定律。由于其二次收敛率，牛顿-拉夫森迭代方法被广泛使用。为了提高其对高度非线性本构模型的性能，已经提出了几种优化方法（Kelln等人，2008年；Potts等人，2021年；Koudelka等人，2024年）。Scherzinger（2017年）使用线搜索方法对各向同性和各向异性塑性模型进行了积分，该方法对于大步长显示出良好的收敛性。基于这种方法，Yoon等人（2020年）和Zhou等人（2022年）实现了应力积分，减少了由高度非线性或大步长引起的局部收敛失败。此外，Lester和Scherzinger（2017年）应用了信赖区域方法来求解非线性本构方程。信赖区域方法的性能，包括收敛性和效率，与线搜索方法相当。
对于牛顿-拉夫森迭代方法，初始猜测起着至关重要的作用。如果初始猜测与准确解相差甚远，迭代将无法收敛。Bi?ani?和Pearce（1996年）以及Stupkiewicz等人（2014年）使用辅助投影方法优化了初始猜测。首先将弹性试验应力状态点投影到辅助预测面上，然后使用得到的应力作为牛顿-拉夫森迭代的初始猜测。这种方法避免了屈服面曲率过高或具有顶点时迭代过程中的不稳定性。实现全局收敛的另一种方法是子步长算法。对于大步长，可以将步长分成多个子步长，在这些子步长中逐步更新应力。这确保了最终应力状态点位于或位于屈服面上。Jia（2014年）提出了一种自适应子步长应力积分算法，以确定大塑性应变增量的适当子步长数量。Wang等人（2006年）使用子步长算法克服了基于旋转硬化本构模型的应力积分收敛困难。当试验应力状态点位于边界表面之外时，Petalas和Dafalias（2019年）将步长分成两个子步长，以优化边界表面模型的高度非线性方程的初始猜测。Wang和Wang（2024年）采用弹性试验应力作为初始猜测，以求解由变换应力方法推广的三维应力-应变关系。如果牛顿-拉夫森迭代未能收敛，则将应变增量减半并重新计算弹性试验应力，直到达到收敛。
此外，同伦延续方法（HCM）可以提供一个具有全局收敛性的初始猜测。它构建了一系列从简单辅助函数逐渐演化到感兴趣的复杂非线性方程的同伦方程，引导初始猜测收敛到准确解。Tang等人（2019年）使用HCM计算非线性电场，并证明它可以克服由于初始猜测不良引起的发散。Hu等人（2017年）使用HCM求解动态方程，因为它允许未知量有较大的变化。HCM还应用于磁网络方程和化学工程问题的求解（Yang等人，2021年；Jiménez-Islas等人，2013年）。Wu（2006年）发现某些初始猜测会使雅可比矩阵奇异，但通过调整辅助函数可以克服这个问题。Gómez-Páez等人（2025年）通过引入弧长参数化来控制同伦变形率，从而改进了HCM，使解平滑演化，并避免了由于参数快速变化引起的不稳定性。Zhao（2024年）将优化算法与HCM结合使用。当无法找到最优解时，HCM引导迭代收敛到全局最优解。此外，Gdawiec等人（2023年）将HCM集成到最优算法中，得到了四阶精确的迭代算法。在土壤本构模型的应力积分领域，Geng等人（2021年）提出了同伦-牛顿-CPPM算法，显著提高了传统算法的收敛性，并避免了雅可比矩阵的奇异性。
在本文中，提出了多阶段同伦延续方法（MHCM）来求解高度非线性方程，从而实现SSUH模型的应力积分。MHCM采用多个阶段的同伦变形逐步优化牛顿-拉夫森迭代的初始猜测。从算法收敛性、效率和精度方面，将MHCM的性能与原始的单阶段HCM进行了比较。然后，应用SSUH模型预测实际隧道开挖项目中的地面位移，验证了本构模型和应力积分算法的能力。
