二次有限离散元方法（qFDEM）的性能及其潜在优势

《Computers and Geotechnics》：The performance of quadratic finite-discrete element method (qFDEM) and its potential advantages

脆性材料裂纹演化模拟中高阶二次粘聚单元的FDEM框架研究。采用二次粘聚单元提升有限元-离散元耦合模型精度，解决线性单元导致的应力场复杂表征不足、剪切和体积锁锢敏感性高、动态问题数值耗散严重等问题。准静态加载与波传播试验表明，二次模型在应力路径预测、裂纹扩展轨迹识别和动态波形保真度方面均优于线性模型，且计算成本降低40%-50%。

　　

李忠豪|李晓峰|李海波|赵琦|乔瓦尼·格拉塞利

中国科学院岩石与土壤力学研究所岩土力学与地质工程安全国家重点实验室，武汉430071，中国

摘要

组合的有限-离散元方法（FDEM）已被证明在模拟脆性固体中的裂纹起始、扩展和聚合方面非常有效。然而，现有的FDEM框架仍然局限于使用恒定应变元素，这限制了其表示复杂应力场的能力，对剪切和体积锁定的敏感性较高，并且在动态问题中容易出现数值分散现象。为了克服这些限制，本研究开发了一个基于高阶元素的框架，其中包含了一种新型的二次粘聚元素，以提高模型的准确性和连续性。所提出的二次粘聚元素确保了沿边界的均匀牵引力分布，避免了通常导致网格不兼容性和人为强度降低的节点间应力集中问题。通过进行三项准静态加载试验和一项波传播试验，比较了二次模型和线性模型的性能。结果表明，二次模型在应力路径、裂纹扩展和减少数值分散方面始终优于线性模型。在准静态加载条件下，新的二次模型在应力误差、裂纹起始载荷预测以及裂纹路径预测方面都比之前的模型更可靠。在动态条件下，它可以有效减少低阶元素难以处理的高频波分量的数值分散，并提供更稳定的波传播模拟结果。此外，二次元素的FDEM框架为提高裂纹模拟的真实性提供了一种经济可行的替代方案：与网格细化相比，二次元素在裂纹起始载荷预测方面的准确性与网格细化相当，但计算成本仅为其50-60%。

引言

断裂传播的数值模拟在模拟脆性材料和结构时面临重大挑战。在岩石工程中，准确的稳定性评估需要能够明确考虑断裂过程的数值方法。主要困难在于断裂的固有不连续性，而传统的基于连续介质的方法（如标准有限元方法（FEM）对此表现不佳。为了克服这一限制，人们开发了扩展的连续介质公式和混合连续-离散技术。扩展的连续介质方法通过外部技术增强了FEM的断裂建模能力。元素退化方法通过降低超过预定义失效标准的元素的刚度来模拟失效（Tay等人，2005年）。扩展有限元方法（XFEM）通过特殊函数丰富了标准FEM，能够在不重新网格化的情况下捕捉不连续性和奇异性（Cervera等人，2022年；Fries和Belytschko，2010年；Zi和Belytschko，2003年）。粘聚区模型（CZM）在体元素之间插入零厚度元素，利用牵引-分离定律自然地嵌入了格里菲斯准则（Needleman，1987年；Ortiz和Pandolfi，1999年；Turon等人，2007年）。相场模型（PFM）将裂纹表示为一个由能量最小化控制的扩散损伤区，使得裂纹起始和扩展的模拟更加平滑（Kumar等人，2025年；Tian等人，2026年）。这些方法在一定程度上解决了断裂表示问题，并在计算地质力学中得到广泛应用。然而，上述方法追求的是高精度的严格收敛解，这限制了它们在接触和大幅变形问题中的适用性，因为这些问题本身就存在收敛困难。特别是在处理多裂纹相互作用等非线性问题时，计算结果更难收敛（Rabczuk，2013年；Linkov，2019年；Zia和Lecampion，2019年）。为了改进断裂表示，（Munjiza，2004年）提出了有限-离散元方法（FDEM），它结合了连续介质和离散介质力学。FDEM整合了用于完整材料行为的有限元方法（FEM）、用于块体相互作用的离散元方法（DEM）以及用于捕捉断裂的粘聚区模型（CZM）。作为一种显式方案，FDEM能够在外加载作用下对动态断裂演化进行非线性模拟，特别适用于模拟准脆性材料，如岩石（Lisjak和Grasselli，2014年）、混凝土（Farsi等人，2020年）、玻璃（Chen等人，2023年）、陶瓷（Gong等人，2021年）等，并已在岩石工程领域得到广泛应用（Du等人，2024年；Lei等人，2024年；Xia和Yang，2024年；Zhang等人，2024年；Fu等人，2024年；Li等人，2025年）。

然而，当前的FDEM研究几乎完全依赖于线性恒定应变元素，这往往导致变形对网格的依赖性较强，并高估了结构的刚度。在传统的有限元分析中，线性元素存在多种数值缺陷，包括表示复杂应力场的能力有限、对剪切和体积锁定的敏感性较高，以及容易发生数值分散（Sun，2006年；Ten Thije和Akkerman，2008年；Cheng等人，2016年；Bagheri等人，1994年；Willberg等人，2012年；Netz等人，2013年；Stazi等人，2003年）。Netz等人（2013年）证明，在相同自由度下，线性元素产生的应力误差明显大于高阶元素，无论是平面橡胶块问题还是悬臂梁问题。Mitchell（2015年）进一步指出，当多项式阶数低于十时，高阶元素可以在更低的计算成本下达到与线性元素相同的精度。由于自由度有限，线性元素还固有地存在剪切和体积锁定问题，这会严重影响计算精度（Sun，2006年）。需要使用复合元素技术来解决FDEM中线性元素的锁定问题（Lei等人，2016年；Camacho和Ortiz，1996年）。数值分散是另一个关键问题，它会降低使用线性元素的模型的解决方案精度。在动态加载条件下，数值波的相速度依赖于波数，导致高频分量从原始波形中分散（Li等人，2023年）。由于FDEM通常应用于动态断裂问题，数值分散成为一个不可避免的问题，尽管在现有研究中对此关注较少。Willberg等人（2012年）指出，低阶FEM公式在模拟兰姆波传播方面存在显著限制，强调了实施高阶形状函数的必要性。同样，Frank和Ivo（Ihlenburg和Babu?ka，1995年）证明，线性元素更容易发生数值分散，且数值波的相位误差随元素阶数的增加而呈指数衰减。根据Munjiza的讨论（Munjiza，2004年），准确的裂纹模拟需要精确计算应力场。因此，将高阶元素纳入FDEM框架不仅有可能显著提高应力和位移场的精度，还有助于提高裂纹起始和扩展模拟的真实性。

本研究将二次元素引入FDEM框架，并研究了其在应力和位移精度、裂纹模拟真实性和抗数值分散能力方面的潜在优势。本文的结构如下：第2节回顾了FDEM的数学模型，并介绍了包含新开发的二次粘聚元素的二次FDEM框架，该元素避免了粘聚力集中问题。第3节通过四个数值实验比较了二次模型和线性模型在裂纹模拟精度、应力和位移精度以及波形真实性方面的性能。第4节探讨了二次模型优势的潜在机制，并从精度和计算效率的角度讨论了FDEM模拟中h-细化和p-细化之间的权衡。最后，第5节提出了结论并指出了未来工作的方向。值得注意的是，本研究中的所有理论和实验都限于二维情况。

章节片段

连续介质和离散介质方法的数学模型

在本节中，我们回顾了FDEM中的控制方程及其离散形式。首先介绍了平衡方程的弱形式，然后使用形状函数进行了空间离散化。最后，介绍了一种适用于FDEM实现的时间积分方案。

数值实验

为了评估FDEM框架中二次元素相对于线性元素的潜在优势，进行了四项数值实验，重点关注断裂模拟精度、应力和变形精度以及动态问题中的频率分散，分别对应于单轴压缩、直接拉伸、悬臂梁弯曲和波传播试验。除了波传播试验外，所有模拟都采用了准静态增量加载方法以确保

二次元素在裂纹模拟中的优越性

FDEM中的准确裂纹模拟在很大程度上取决于网格尺寸，因为裂纹的扩展受到元素界面的限制。正如（Munjiza，2004年）所指出的，当网格足够细时，可以正确预测裂纹起始载荷和一般扩展方向。更细的网格可以提供更准确的应力场和足够的界面方向来捕捉关键牵引力。理想情况下，如果应力场计算正确且网格包含

结论

有限-离散元方法（FDEM）是一种强大的工具，能够模拟从裂纹起始和扩展到穿透的整个断裂过程。然而，到目前为止，FDEM框架一直局限于使用低阶线性元素，而没有充分利用高阶元素在有限元分析中已证明的优越能力。在这项工作中，提出了一个包含二次元素的FDEM框架，并开发了一种二次粘聚元素

CRediT作者贡献声明

李忠豪：撰写——原始草案，方法论。李晓峰：撰写——审阅与编辑，软件，概念化。李海波：监督，资金获取。赵琦：撰写——审阅与编辑。乔瓦尼·格拉塞利：撰写——审阅与编辑，方法论。

利益冲突声明

作者声明他们没有已知的可能会影响本文报告工作的竞争性财务利益或个人关系。

致谢

我们衷心感谢国家自然科学基金（42577214）和国家自然科学基金（U22A20239）的财政支持。作者感谢匿名审稿人和编辑的建设性意见。