一种基于图的算法，用于连续投影嵌入式离散断裂模型（CpEDFM-U），该算法利用MPFA-D方法在一般的非结构化网格上模拟自然裂缝多孔介质中的两相流动

《Computers and Geotechnics》：A graph-based algorithm for the Continuous-Projection Embedded Discrete Fracture Model (CpEDFM-U) to simulate two-phase flows in naturally fractured porous media using the MPFA-D method on general unstructured meshes

本文提出连续投影嵌入式离散裂缝模型（CpEDFM-U），通过Dijkstra算法实现裂缝投影路径的连续性，结合MPFA-D方法处理基质与裂缝的流动，解决了传统模型在复杂网格中投影不连续和屏障效应处理不足的问题，数值实验验证了其优势。

　　

加布里埃尔·马丁斯·卡瓦尔坎蒂·费托萨（Gabriel Martins Cavalcanti Feitosa）|埃马努埃尔·罗德里格斯·多斯·桑托斯（Emanoel Rodrigues dos Santos）|佩德罗·维克托·帕桑·阿尔布克尔克（Pedro Victor Paix?o Albuquerque）|阿图尔·卡斯蒂埃尔·雷伊斯·德·索萨（Artur Castiel Reis de Souza）|达尔兰·卡洛·埃利西亚里奥·德·卡瓦略（Darlan Karlo Elisiário de Carvalho）|保罗·罗伯托·马西埃尔·利拉（Paulo Roberto Maciel Lyra）

巴西伯南布哥联邦大学机械工程系，建筑大道（Av. da Arquitetura）无号，累西腓，50740-550，PE

摘要

对自然裂隙多孔介质中的流体流动进行建模对于碳氢化合物生产和二氧化碳封存等应用至关重要。然而，由于裂隙的渗透率分布复杂，准确模拟这些流动仍然具有挑战性。嵌入式离散裂隙模型（EDFM）已被广泛使用，但在表示作为屏障的裂隙方面存在局限性，尤其是在多相流动中。为了克服这些挑战，开发了基于投影的嵌入式离散裂隙模型（pEDFM），该模型能够更好地处理渗透率低于基质的裂隙。然而，它仍然可能在裂隙投影中表现出不连续性。为了解决这些局限性，我们提出了连续投影嵌入式离散裂隙模型（CpEDFM-U），这是一种基于图的算法，可以保证在结构化和非结构化二维网格中实现连续的裂隙投影。CpEDFM-U使用迪杰斯特拉算法（Dijkstra’s algorithm）找到裂隙尖端之间的最短路径，并应用MPFA-D方法计算基质流动，以及TPFA方法计算裂隙流动。在分析的数值模拟中，CpEDFM-U的表现优于EDFM和pEDFM，显示出更低的误差和在不同裂隙类型及网格分辨率下的稳健性能。

引言

对裂隙多孔介质中流体流动的准确和高效建模对于多种岩土工程和地下工程应用至关重要，包括碳氢化合物生产、二氧化碳封存以及地热能提取。尽管裂隙所占体积相对较小（Berkowitz, 2002），但它们往往主导着流动行为。在数值建模中，如何在不过度增加计算负担的情况下捕捉这种影响仍然是一个重大挑战。

显式裂隙建模方法大致分为两类：符合网格的方法（conforming methods）和非符合网格的方法（non-conforming methods）。符合网格的方法，如离散裂隙模型（DFM），通过将网格单元与裂隙几何形状对齐来显式表示裂隙。裂隙被建模为低维实体（例如，在三维域中的二维表面），并细化网格以确保裂隙表面与单元面完全吻合。这允许使用不同的离散化方法准确解决裂隙-基质界面处的压力和流量不连续性问题（Karim-Fard和Firoozabadi, 2003; Karimi-Fard等人, 2004; Burbulla和Rohde, 2020; Cavalcante等人, 2020; Berre等人, 2021; Teixeira等人, 2022; Rao等人, 2024a; Wang等人, 2022）。然而，符合网格的要求引入了重大的计算挑战，尤其是在三维中模拟复杂或大规模的裂隙网络时。在存在小裂隙、锐角交叉点或密集连接网络的情况下，网格划分过程变得越来越昂贵且脆弱（Karimi-Fard等人, 2004）。在三维域中，生成高质量符合网格的算法通常需要复杂的算法，但仍可能产生严重偏斜或扭曲的单元，从而降低数值性能。最近的进展，如de Hoop等人（2022）提出的方法，提高了符合网格工作流的稳健性，但这些方法仍受其可扩展性和预处理开销的限制。因此，符合网格的DFM的局限性推动了非符合网格或嵌入式方法的发展，这些方法将离散裂隙表示与基质网格生成解耦，允许更灵活和高效地模拟裂隙系统（Li和Lee, 2008; ?ene等人, 2017; Jiang和Younis, 2017）。

作为替代方案，嵌入式离散裂隙模型（EDFM）将裂隙表示为嵌入基质网格中的离散低维实体，消除了对裂隙几何形状的网格符合性要求（Shakiba, 2014）。在EDFM中，基质和裂隙可以独立进行网格划分，它们通过非相邻连接（NNCs）与周围基质单元交换流量，从而能够高效模拟复杂或密集的裂隙网络，同时保持基质的有序网格。由于这些特性，EDFM得到了广泛应用（Li和Lee, 2008; Hajibeygi等人, 2011; Moinfar等人, 2014; Yu等人, 2018; Dachanuwattana等人, 2018; Fumagalli等人, 2019; Wang等人, 2023; Xu等人, 2023; Zeng等人, 2019; Mejia等人, 2021）。尽管EDFM提供了灵活性和计算效率，但它也有局限性。例如，EDFM无法捕捉屏障效应（?ene等人, 2017; Jiang和Younis, 2017），并且在多相流动中计算流量时存在错误（Jiang和Younis, 2017）。

为了克服标准EDFM在模拟裂隙多孔介质中的多相流动时的特定局限性，开发了基于投影的嵌入式离散裂隙模型（pEDFM）（?ene等人, 2017; Jiang和Younis, 2017）。pEDFM通过将裂隙投影到单元面上来工作，减弱了共享该投影面的单元之间的连接，并在裂隙单元与共享投影面的两个单元之间创建NNCs。尽管计算成本略有增加，但pEDFM能够解决EDFM的上述局限性。pEDFM也得到了广泛的发展（Ren等人, 2018; Olorode等人, 2020; Rao等人, 2020; HosseiniMehr等人, 2022; Rao, 2023; Rao等人, 2024b; Rao等人, 2025），并已由Cavalcante等人（2024）扩展到非结构化四面体网格。

然而，用于计算哪些面将接收投影的算法对于一致的pEDFM至关重要。?ene等人（2017）提出了一种算法，后来Jiang和Younis（2017）对其进行了改进。该算法包括突出显示最接近裂隙的一对基质单元面，确保它们位于裂隙的同一侧。这样做是为了保证投影面集合能够产生物理上的投影配置。随后，Rao和Liu（2022）扩展了物理投影配置的概念，提出了等价定理。该定理指出，如果裂隙的投影配置是物理上的，那么它与裂隙在拓扑上是同胚的。因此，从几何角度来看，投影配置的拓扑属性与裂隙的拓扑属性相同。Rao和Liu（2022）以及Rashid和Olorode（2024）表明，标准的pEDFM算法不足以保证物理配置空间。在某些情况下，投影配置会有孔洞，这使得投影配置与裂隙不同胚，从而在低渗透率裂隙中可能发生泄漏。Rashid和Olorode（2024）提出了第一个保证连续投影的算法CpEDFM，从而确保了结构化网格的物理一致性。

与Rao等人（2024b）类似，在本工作中，我们使用了一种对非结构化网格鲁棒且一致的局部保守离散化方法。然而，作者使用了Rao（2023）提出的通用pEDFM框架，对于高导电性裂隙，该框架使用标准pEDFM和微平移方法来获得投影路径，而对于屏障则使用非投影的平均透射率方法。通用pEDFM结合混合TPFA-MFD方法计算基质流量，使得他们的数值框架非常稳健和通用。在本工作中，我们使用标准的pEDFM方法，但基于迪杰斯特拉算法开发了一种新策略来获得连续的投影路径，该方法适用于笛卡尔和一般非结构化二维网格，以及基于钻石模板（MPFA-D）的非正交多点流量近似方法。

在这项工作中，我们提出了一种稳健且通用的算法，即连续投影嵌入式裂隙模型（CpEDFM-U），以确保在pEDFM框架内的连续和一致的投影行为。该算法包括将单元节点映射到图中，通过图计算裂隙末端之间的最短路径，然后将选定的路径映射回基质面，这将成为投影配置。由于图中两个节点之间的最短路径是连续的，因此投影配置也将是连续的（Dijkstra, 2022）。我们方法的一个优点是该算法既适用于结构化网格也适用于一般非结构化网格。通过一系列数值实验，我们证明了所提出的算法优于标准的pEDFM方法，确保了在结构化和非结构化网格上的连续投影。

本文的主要贡献是一种新的算法，用于确定裂隙投影，该方法使用图映射和迪杰斯特拉算法，确保在笛卡尔和非结构化网格中实现连续的裂隙投影，同时结合了鲁棒的多点流量近似方法MPFA-D，该方法能够处理笛卡尔和一般非结构化二维网格，并在标准pEDFM框架下工作。

本文的其余部分分为四个部分：第2节我们展示了所采用的数学模型，第3节描述了我们使用的新数值公式，第4节展示了使用所提出方法获得的数值结果，第5节提出了一些结论性意见。

数学模型

在本节中，我们简要描述了自然裂隙储层中等温、不混溶和不可压缩的两相流的数学模型。我们还假设岩石基质是不可压缩的。考虑一个包含裂隙的二维基质域

数值公式

在本节中，我们介绍了用于模拟由方程（4）至（7）描述的两相流动问题的数值公式，以及适当的初始和边界条件，这些公式在具有2D通用网格的裂隙储层中应用。从已知的饱和度分布开始，计算域内的流体流动性。饱和度和流动性场作为输入，用于分离的IMPES公式，其中压力是隐式求解的。

结果

本节展示了来自三个不同模型问题的结果，每个问题都突出了所比较方法的能力和局限性。示例1涉及具有对角密封裂隙的储层中的单相模拟，比较了EDFM、pEDFM和CpEDFM-U方法在不同结构化和非结构化网格分辨率下的性能。目的是证明CpEDFM-U能够有效处理所有网格分辨率，确保

结论

在本文中，我们提出了一种新的方法，用于模拟自然裂隙储层中的两相油水流动。基于嵌入式离散裂隙模型（EDFM和pEDFM）的增强方法，我们开发了CpEDFM-U模型，该模型集成了连续裂隙投影，允许使用结构化和非结构化的二维（2D）网格模拟复杂几何形状。我们的模型解决了以前方法的局限性，例如无法

CRediT作者贡献声明

加布里埃尔·马丁斯·卡瓦尔坎蒂·费托萨（Gabriel Martins Cavalcanti Feitosa）：撰写 – 审稿与编辑，撰写 – 原始草稿，软件。埃马努埃尔·罗德里格斯·多斯·桑托斯（Emanoel Rodrigues dos Santos）：撰写 – 审稿与编辑，撰写 – 原始草稿，软件。佩德罗·维克托·帕桑·阿尔布克尔克（Pedro Victor Paix?o Albuquerque）：撰写 – 审稿与编辑，撰写 – 原始草稿，软件，方法论。阿图尔·卡斯蒂埃尔·雷伊斯·德·索萨（Artur Castiel Reis de Souza）：软件，方法论，概念化。达尔兰·卡洛·埃利西亚里奥·德·卡瓦略（Darlan Karlo Elisiário de Carvalho）：撰写 – 审稿与编辑，监督，方法论，概念化。保罗·罗伯托

利益冲突声明

作者声明以下可能被视为潜在利益冲突的财务利益/个人关系：加布里埃尔·马丁斯·卡瓦尔坎蒂·费托萨报告称获得了Energi Simulation的财务支持。加布里埃尔·马丁斯·卡瓦尔坎蒂·费托萨报告称获得了伯南布哥州科学技术基金会的财务支持。埃马努埃尔·罗德里格斯·多斯·桑托斯报告称获得了国家科学技术委员会的财务支持

致谢

作者感谢以下机构的财务支持：伯南布哥州科学支持基金会（FACEPE）、国家科学技术发展委员会（CNPq）和高等教育人员改进协调委员会（CAPES基金会）。资助方：CNPq（巴西）（PQ-308334/2019-1和PQ-310145/2021-0），以及Energi Simulation（14/2025）。