利用基于物理知识的神经网络和岩土距离场来求解三维非线性固结问题

《Computers and Geotechnics》：Utilizing physics-informed neural network and geotechnical distance field for solving three-dimensional nonlinear consolidation

三维非线性固结问题采用改进物理信息神经网络（PINN-H）耦合三维地质距离场（GDF-ML）框架求解，通过孔隙水压力分布与COMSOL对比验证，并分析渗透率异质性、压缩指数和孔隙比对长期沉降的影响。

　　

Tran-Gia-Khiem Nguyen | Jongmuk Won

韩国蔚山国家科学技术院（UNIST）土木、城市、地球与环境工程系，UNIST-gil 50号，蔚山 44919

摘要

解决三维（3D）非线性固结问题既复杂又计算成本高昂。本研究提出了一种框架，通过利用改进的物理信息神经网络（PINN）结合基于机器学习的岩土距离函数进行三维空间插值，来解决3D非线性固结问题。通过将所开发框架得到的孔隙水压力数据与COMSOL Multiphysics的结果进行比较，评估了该框架的性能。此外，还评估和讨论了垂直水力传导率异质性、压缩指数和孔隙比对长期沉降的影响。研究发现，所提出的框架能够可靠地估计三维域内的孔隙水压力分布，其结果与COMSOL得到的数据相当。此外，该框架能够成功考虑水力传导率的异质性，从而能够评估水力传导率不确定性较高的粘土层的长期沉降。总体而言，本研究开发的框架可以应用于计算成本低且精度高的复杂固结问题。

引言

固结可以定义为可压缩土壤中过量孔隙水压力的时间依赖性消散过程，这直接关系到基础设施的安全性和可用性（Olek, 2020; Skempton and Bjerrum, 1957）。Terzaghi等人（1996）提出的一维（1D）固结理论后来由Gibson等人（1967）扩展到饱和粘土情况，该理论基于包括恒定渗透率和压缩系数在内的理想化假设。然而，现场观察表明土壤具有非线性特性，因此需要应用非线性固结公式（Davis and Raymond, 1965; Duncan, 1993）。Biot（1941）提出了三维（3D）固结的基本理论，将流体流动与土壤变形耦合到实际条件中。Biot的理论捕捉了孔隙水压力消散与应力诱导土壤变形之间的复杂相互作用。然而，在解决3D非线性固结问题时，固有的非线性和耦合行为带来了巨大的计算挑战。传统的数值方法，如有限元方法（FEM），通常用于求解这些偏微分方程（PDEs）（Borges, 2004; Dai et al., 2017; Ochmański et al., 2020）。然而，这些方法通常需要极其精细的空间离散化和大量的迭代计算，使得在大规模地质工程领域中求解具有复杂土壤特性的3D非线性固结问题变得计算成本高昂。

近年来，随着人工智能（AI）和机器学习（ML）的快速发展，出现了许多新的高效计算方法来求解非线性PDEs。物理信息神经网络（PINNs）最初由Raissi等人（2019）提出，被认为是利用神经网络（NN）求解非线性PDEs的强大工具。PINNs利用支配系统的物理定律，并将这些约束嵌入到典型的神经网络架构中，从而无需大量数据集即可进行物理上可靠的预测。这种方法的优点在于它能够将控制PDEs、初始条件和边界条件直接整合到损失函数中，形成一个物理约束的优化问题。因此，PINN框架已被广泛用于解决与固结相关的问题，例如一维线性和非线性固结及参数反演识别（Bekele, 2021; Mandl et al., 2023; Zhang et al., 2022）、二维（2D）排水问题（Wang et al., 2024）、大应变或粘弹性固结（Xie et al., 2024; Zhou et al., 2025）以及非饱和土壤的耦合水力-力学行为（Amini et al., 2022; Kamil et al., 2025; Li et al., 2024）。此外，Zhang等人（2024）提出了一种基于物理信息的数据驱动框架，该框架可以从测量数据中自动恢复Terzaghi的固结方程，并使用基于先验信息的神经网络进行求解，展示了强大的方程发现和反演固结分析能力。Lan等人（2024a, 2024b）进一步开发了一种具有硬约束的改进PINN（PINN-H），用于具有连续排水边界条件的一维非线性固结问题，表明这种PINN-H公式可以准确捕捉基于现场相关排水边界的非线性固结响应。最近，Yuan等人（2024）利用PINN模型解决了由三维线性固结PDE控制的三维固结问题，证明了PINNs也可以用于解决三维线性固结问题。这些应用展示了PINNs在处理复杂固结场景（如非线性土壤特性和复杂几何形状）时的多功能性，在这些场景中，传统数值方法通常需要复杂的离散化方案和大量的计算资源。

基于ML的地理空间插值框架也成为解决岩土工程中空间插值问题的新兴技术。传统的地理空间插值方法，如克里金法（Kriging），常常难以处理稀疏数据集，并且可能无法为复杂的地下条件提供可靠的插值结果（Isaaks & Srivastava 1989）。为了克服这些限制，基于ML的地理空间插值技术因其在分类和回归问题中的鲁棒性而越来越受到重视（Zhang and Phoon, 2022; Li et al., 2022; Wang et al., 2023）。基于树的集成模型，特别是随机森林（Akinci, 2022; Breiman, 2001; Ewusi-Wilson et al., 2022）和极端梯度提升（Chen and Guestrin, 2016; Shi and Wang, 2021; Abdelmalek-Lee and Burton, 2024），已成为流行的地理空间插值算法，具有平滑预测非线性土壤剖面、计算效率高和不确定性量化能力等优点。然而，当训练数据集基于笛卡尔坐标时，捕捉空间相关性仍然具有挑战性，因为转换为地理空间距离可能会导致预测能力下降，尤其是在数据可用性有限的情况下。为了解决这个问题，Xie等人（2022）提出了基于2D ML的地质距离场（GDF）框架，该框架受到欧几里得距离场（Rosenfeld and Pfaltz, 1968; Behrens et al., 2018）的启发，并在之前的研究中扩展到了三维GDF-ML（Nguyen et al., 2025，待审），提供了可靠的地质属性三维插值。

由于需要在高维时空域中采样大量配置点，多维固结的PINN公式可能会变得计算成本高昂（Guo & Yin 2024）。因此，需要开发一个具有高可靠性和计算效率的框架来解决非线性3D固结问题。因此，本研究的目的是提出一种结合PINN和3D GDF-ML框架的方法，以实现3D非线性固结问题的鲁棒、可靠和高效估计。首先介绍了所提出框架的概念，然后使用COMSOL Multiphysics评估了该框架的性能。还展示了使用所开发框架时垂直渗透率变化对孔隙水压力和沉降分布的影响。此外，还讨论了水力传导率、压缩指数和孔隙比变化对长期沉降的影响。

部分摘录

具有连续排水边界条件的一维非线性固结

本研究采用了一维非线性固结模型，并设置了连续排水边界条件。通过使用PINN-H在域内评估多个一维非线性解，然后使用基于ML的3D GDF算法对一维解进行插值，从而获得三维非线性固结解。为了评估在施加荷载条件下土壤中过量孔隙水压力（PWP）的时间依赖性消散情况，

所提出的PINN-H + 3D GDF ML框架的性能

为了验证所提出框架的性能，使用COMSOL Multiphysics软件生成了一个三维固结域，其尺寸为：x = y = 9 m; z = 5 m。所提出框架的三维域尺寸也相同，水平（δ_x 或 δ_y）和垂直（δ_z）分辨率分别为δ_x = δ_y = 0.5 m 和 δ_z = 0.05 m。土壤属性设置为：p = 150 kPa; ${\sigma }_0^{\prime }$ = 50 kPa; C_c = 0.3; C_k = 1.0; e₀ = 1.0; k_v0 = 3.15 × 10^?3 m/year。此外，边界条件

结论

本研究提出了一种使用PINN-H结合3D GDF来解决3D非线性固结的新框架。首先介绍了数学背景和方法，然后进行了模型验证以及土壤属性不确定性对PWP和长期表面沉降的影响分析。根据本研究的结果，可以得出以下结论：

1)

与COMSOL的结果相比，所提出的框架在整个三维域内显示出一致的PWP数据。此外，

CRediT作者贡献声明

Tran-Gia-Khiem Nguyen：撰写——原始草稿、可视化、软件、方法论、调查、概念化。Jongmuk Won：撰写——审阅与编辑、监督、方法论、资金获取、概念化。

利益冲突声明

作者声明他们没有已知的财务利益或个人关系可能影响本文报告的工作。

致谢

本研究得到了韩国国家研究基金会（NRF）的资助，该基金由韩国政府提供（RS-2022-NR071877）。