作为现代电磁（EM）问题的典型模型和关键组成部分，平面分层模型（PLM）凭借其独特的导电特性以及通过反射和传输电磁波来调节能量流动的能力，在各个工程领域得到了广泛应用。这些应用包括地球物理勘探、遥感技术、深井探测、天线设计、微波电路、光学滤波器和太赫兹超材料[[1], [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8], [9]]。因此，开发一种有效的全波分析方法来研究PLM结构中的电磁传播具有重要的实际意义。
现代设备设计要求越来越复杂的功能，而电磁环境表现出越来越具有挑战性的特性，分层几何结构变得更加精细，材料也表现出强烈的各向异性。在这种情况下，实现复杂介质中电磁传播的高精度全波分析、对多层结构进行高效离散化以及在处理多尺度结构时平衡效率和准确性，对传统方法提出了重大挑战。
各向异性介质凭借其独特的电磁和光学特性，吸引了众多专家学者的广泛关注和深入研究，使其在各个领域得到广泛应用[[10], [11], [12], [13], [14], [15]]。然而，大多数研究集中在各向同性、单轴/双轴各向异性或非磁性介质上。扩展到更通用的介质，[16]和[17]分别利用三维时域有限差分法（3-D FDTD）和表面积分方程方法研究了全各向异性介质中的电磁散射现象。
与传统介质相比，全各向异性介质提供了更多的自由度，从而为微波和毫米波设备以及光子设备的设计提供了更大的灵活性[18]。然而，相对介电常数和磁导率的满秩张量特性往往会对数值算法的效率和准确性产生负面影响。因此，分析方法通常表现出更优的性能。2007年，L?seth提出了一种用于计算一般各向异性介质中电磁场的有效分析方法，但对特征向量矩阵进行能量通量归一化导致推导过程较为繁琐[19]。随后，Zhang提出了一种传递矩阵方法（TMM）来确定多层全各向异性介质中的能量传输过程[20]。尽管这种方法很强大，但当模型的频率厚度乘积较大时，经常会出现严重的数值溢出，导致奇异解和非物理解[21,22]。因此，开发一种高度稳健的模拟算法来分析全各向异性介质中的电磁传播具有重要意义。
近年来，为满足日益增长的工程需求，研究人员不仅将各向异性材料引入PLM，还对其几何结构进行了优化设计，从而引出了特定的电磁现象。为应对这一挑战，提出了几种有影响力的解决方案，包括积分方程（IE）方法[23,24]、时域有限差分（FDTD）方法[25]和有限元方法（FEM）[26]。所有这些方法都对PLM领域做出了重要贡献。然而，当PLM结构中存在多尺度组件或小异常时，这些集成建模方案通常会产生大量的自由度。这会导致离散化模型的存储需求过大，并显著降低系统性能。
为了解决全局网格划分的刚性问题，研究人员提出了受分而治之策略启发的域分解方法[[27], [28], [29], [30]]。在这种方法中，必须在相邻子域之间建立传递条件，以在界面上传递物理信息。传输条件的正确实施直接影响不同区域之间的耦合精度，从而影响模拟结果的可靠性。此外，这也可能使数值方程的构建变得更加复杂。因此，需要开发一种合适的模拟策略，既能保证局部精细结构的模拟精度，又能提高整体几何离散化的效率，同时不影响PDE的构建。
为了实现对分层全各向异性介质问题的高性能模拟，本文提出了一种有效的模型等效方法。主要贡献包括：
1)该方法将三维PLM问题压缩为轴向介质模型，使得内存占用降低到传统FEM所需内存的20%以下。
2)为消除多尺度结构引起的极端网格分级和单元变形，放弃了传统的网格生成方法，而是在高阶插值框架内从轴向节点构建试验函数。这种无网格策略在保持精度的同时，不再依赖高质量的网格进行PLM模拟。
3)与简单的将虚假模式转移到更高频率的方法不同——将散度约束?·(εE) = 0硬编码到系统矩阵中，彻底消除了非物理解，并保持了矩阵的良好条件。
4)为全各向异性介质推导了控制方程，适用于天然和工程材料，从而为基于PLM结构的电子设备设计提供了极大的灵活性。
本文的结构如下：第二节详细介绍了模型等效方法的物理原理和数学推导过程。第三节通过具体示例展示了所提方法的可行性、准确性和有效性。最后，第四节总结了本文的结论并讨论了未来的研究方向。
