算术群上同调挠率增长的解析与拓扑不变量研究

《Journal of the Institute of Mathematics of Jussieu》：ON THE GROWTH OF TORSION IN THE COHOMOLOGY OF SOME ARITHMETIC GROUPS OF $\mathbb {Q}$ -RANK ONE

本文针对数域F上秩为1的半单代数群G的算术子群Γ，研究了其局部对称空间X=Γ\G∞/K∞上平坦向量丛Em,n的解析挠率与Reidemeister挠率的渐近关系。当Γ沿同余子群塔{Γj}退化且δ(G)=1时，证明了挠率上同调群H?(Γj;L)tor的指数增长现象，并建立了与L2-挠率tX?(2)(?∞)的精确等式，深化了Bergeron-Venkatesh猜想在纤维化尖点情形下的理论框架。

　　

在数论与几何的交汇处，算术群的上同调理论始终是一个充满活力的领域。特别令人着迷的是，当这些上同调群中存在有限的挠子群时，其规模如何随着群本身的“增大”而演变。传统上，对自由部分上同调的研究已相当深入，但挠率部分的增长规律却如同暗物质般难以捉摸，却又可能承载着深刻的不变量信息。这一问题在双曲三维流形等具体情境中已显示出与体积、L²-不变量等基本量的内在联系，促使学者们将目光投向更一般的算术设置。

为了系统探索这一现象，本研究聚焦于一类特殊的算术对象：设F为一个数域，其整数环为O_F。考虑代数群G = Res_F/?(SL(2)/F)，其实点G_∞= SL(2,?)^r1× SL(2,?)^r2，其中r1和r2分别为F的实嵌入和复嵌入对的数量。取Γ为G(?) = SL(2,F)中的一个无挠算术子群，则商空间X = Γ \ G_∞/ K成为一个有限体积的局部对称空间，若F的?-秩为1，则X具有纤维化尖点末端。研究的关键在于考察X上的一族平坦向量丛E_m,n，它们由G的有理表示?: G → GL(V)诱导而来。当沿着一条满足∩_jΓ_j= {1}的同余子群塔{Γ_j}对Γ进行逼近时，一个核心问题是：伴随的挠率上同调群H^?(Γ_j; L)_tor的规模，即其阶数的对数，相对于子群的指数[Γ: Γ_j]，会展现出怎样的渐近行为？

本研究的主要突破在于，当满足δ(G) = rank(g_?) - rank(k_?) = 1的条件时（这要求F的?-秩为1且r2为奇数），成功建立了解析挠率T(X, E_m,n, g, h)与Reidemeister挠率τ(X?, E_m,n, μ_X)之间的精确等式。这一等式的证明策略颇具匠心：通过构造X的双倍流形M = X? ∪_?X?X?，并在此流形上设计一族光滑度量g_ε使其在ε↘0时退化到X上的纤维化尖点度量。利用适用于纤维化尖点的微局部分析工具，该研究精确刻画了热核和解析挠率在退化过程中的渐近性态。另一方面，通过Milnor关于正合序列中Reidemeister挠率的公式，将M的挠率与X的挠率联系起来。最终，结合Müller在紧流形上建立的Cheeger-Müller定理的推广形式，得以在非紧情形下将解析对象与拓扑不变量桥接。

在技术层面，本研究的关键方法涉及对纤维化尖点度量下Hodge-Laplace算子谱的分析、L²上同调理论、以及针对退化度量族的微局部分析。研究者特别处理了表示?_∞在尖点处的行为，并利用了边界贡献在退化极限下的控制。

研究结果清晰地展示，在所述条件下，挠率上同调的和∑_qlog |H^q(Γ_j; L)_tor| / [Γ: Γ_j]的极限下确界由L²-挠率t_X?⁽²⁾(?_∞)和空间体积vol(X)正面控制，且该下确界大于零。这从定量上证实了挠率成分的指数级增长，为Bergeron-Venkatesh关于挠率增长猜想在纤维化尖点情形提供了有力支持。更进一步，当表示满足一定的强非循环条件时，该研究甚至给出了单个上同调维数q下挠率增长的精确极限。

结论与讨论部分强调，本工作的意义远不止于证明一个渐近公式。它将算术群上同调中的挠率问题与几何拓扑中的经典不变量（Reidemeister挠率）和解析不变量（L²-挠率）深刻地联系在一起，揭示了一种超越紧流形范畴的普遍规律。这为利用解析方法探测拓扑和算术信息开辟了新途径。例如，结果暗示在特定的数域和表示下，同调挠率可以成为反映空间复杂性的新的几何不变量。此外，所发展的针对具有复杂几何末端（纤维化尖点）的非紧流形的分析方法，本身也具有独立的技术价值。未来，一个自然的方向是将此框架推广至?-秩更高或δ(G) ≠ 1的情形，并探索挠率增长在特殊值猜想、同余数问题等数论核心课题中的潜在应用。