《Probability in the Engineering and Informational Sciences》：On the notion of discrete-time signature and some associated properties and results
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本文针对离散寿命元件构成的相干系统，提出离散时间签名的概念，以填补离散情形下系统可靠性分析的理论空白。通过定义离散时间签名矩阵，建立了系统寿命的概率分布表达式，证明了其分布无关性，并推导了串联、并联及k-out-of-n系统的签名特征。研究进一步建立了基于签名的系统寿命随机比较准则，提出了不同规模系统签名的转换公式，为离散寿命系统的可靠性比较提供了新方法。
在可靠性工程领域，由多个元件组成的复杂系统寿命评估一直是研究的核心问题。当系统元件寿命为连续型随机变量时，Samaniego提出的系统签名（signature）概念已成为分析相干系统可靠性的有力工具，它能有效描述系统寿命与元件寿命顺序统计量之间的关系。然而在实际应用中，许多系统并非连续监测，而是按周期（如循环次数、检测时点）记录状态，导致元件寿命呈现离散特性。这类离散寿命系统广泛存在于工业设备周期检测、电子系统运行周期计数及生物医学重复测量等场景。遗憾的是，现有签名理论研究主要集中于连续寿命情形，对离散寿命元件构成的相干系统研究相对缺乏，且多针对特定系统类型，缺乏如连续情形中通过签名进行统一分析的一般性框架。这一理论空白限制了离散寿命系统可靠性分析的深度与广度。
为填补这一空白，本文在《Probability in the Engineering and Informational Sciences》上发表了题为“On the notion of discrete-time signature and some associated properties and results”的研究论文。作者团队将连续时间签名概念推广至离散情形，明确定义了离散时间签名。对于一个由n个独立同分布离散寿命元件构成的相干系统，其离散时间签名是一个与元件寿命分布无关的矩阵，其元素sij1,…,jm定义为：在给定元件寿命出现m个不同失效时间（其中第u个失效时间对应ju个元件同时失效，且j1+…+jm=n）的条件下，系统寿命恰好等于第i个有序失效时间（即Xj(i-1)+1:n）的条件概率。该定义自然地包含了寿命可能存在“结”（ties）的情况。研究表明，当所有元件寿命互异（即m=n, j1=…=jn=1）时，离散时间签名退化为熟悉的连续时间签名向量。此外，签名矩阵各行元素之和为1。
研究的关键技术方法主要包括：1）利用顺序统计量和组合数学严格定义离散时间签名矩阵；2）通过计算系统寿命等于特定顺序统计量的概率，推导系统可靠度函数和累积分布函数的表达式；3）应用随机序（stochastic ordering）理论，建立基于签名比较的系统寿命随机优越性准则（如定理4.1）；4）针对不同规模系统，推导签名矩阵的转换公式（定理5.1），实现系统间的可比性。
定义与可靠性函数
研究首先回顾连续时间签名的定义，进而给出离散时间签名的精确定义。通过考虑元件寿命所有可能的失效顺序模式（对应不同的j1,…,jm组合），利用全概率公式，将系统寿命的分布表示为签名元素与元件寿命分布函数的乘积和形式。具体地，系统可靠度P{T > t}可表达为对所有可能的失效模式及其系统失效顺序的加权求和。
系列与并联系统示例
为具体说明离散时间签名的计算与性质，研究详细分析了串联系统、并联系统以及2-out-of-3系统。对于n元件串联系统，其签名矩阵中，仅在对应于系统因第一个有序元件失效而失效的情形（即i=1）时，签名元素为1，其余为0。相反，对于n元件并联系统，其签名矩阵中，仅在对应于系统因最后一个有序元件失效而失效的情形（即i=m）时，签名元素为1。这表明离散时间签名能清晰捕捉系统结构对失效模式的影响。
随机排序结果
研究的一个重要结果是建立了基于离散时间签名的随机序关系。定理4.1指出，若两个n元件相干系统的离散时间签名矩阵满足特定条件（即一个签名矩阵的累积和分量逐点小于等于另一个），则相应系统寿命存在通常随机序（stochastic order）关系，即T1≤stT2。这为比较不同结构系统的可靠性提供了理论依据。推论指出，串联系统的寿命在随机序意义下最小，而并联系统的寿命最大。
不同规模系统的转换公式
为比较不同元件数量的系统，研究在定理5.1中提出了签名转换公式。该公式可以将一个n元件系统的离散时间签名，转化为一个虚拟的n+1元件系统的签名，从而使得不同规模系统的比较成为可能。推导过程涉及精细的组合计数和条件概率计算。
几何分布元件示例
当元件寿命服从几何分布时，研究给出了系统可靠度函数的显式表达式。通过将几何分布的概率质量函数代入一般公式，并利用几何级数性质进行化简，得到了相对简洁的结果。示例计算并比较了不同形状参数α下系统的可靠度函数，直观展示了元件寿命分布对系统可靠性的影响。
研究的结论部分强调，离散时间签名继承了连续时间签名的分布无关性，为离散寿命相干系统的可靠性分析提供了统一框架。所建立的随机比较准则和系统间转换公式，增强了该理论的实用价值。讨论中指出，未来工作可集中于研究基于签名系统寿命的其他随机序（如危险率序）、极大极小签名、以及共享元件的多系统联合签名与可靠性分析，从而进一步丰富离散可靠性理论体系。这项工作为处理现实世界中大量存在的离散监测或周期运行系统的可靠性问题奠定了重要的理论基础。
