非线性抛物方程在Musielak-Orlicz空间中的重正规化与熵解理论

《Journal of the Australian Mathematical Society》：RENORMALIZED AND ENTROPY SOLUTIONS TO THE GENERAL NONLINEAR PARABOLIC EQUATIONS IN MUSIELAK–ORLICZ SPACES

本文研究了在时变Musielak-Orlicz空间中，仅具可积数据的广义非线性抛物方程解的存在唯一性。通过密度论证，作者证明了重正规化解（Renormalized solutions）和熵解（Entropy solutions）的存在性与唯一性，并得出两者等价的结论。该成果统一并推广了具有Orlicz增长、变指数（p(x)）和双相增长（double-phase growth）等各类问题。

　　

研究背景与意义

非线性抛物方程在描述物理、生物和工程领域的扩散、渗流等动态过程中具有广泛应用。当问题具有非标准增长条件（如变指数p(x)、双相增长）或数据仅为可积函数（L¹数据）时，经典Sobolev空间框架下的解理论面临挑战。Musielak-Orlicz空间作为一类更广泛的函数空间，能够灵活地统一处理上述各类非标准增长问题，为解的研究提供了更适宜的框架。

问题设定与核心定义

文章考虑如下形式的广义非线性抛物方程：

?_tu - div a(x, t, ?u) = f

其中非线性项a满足特定的增长性和单调性条件，但增长方式由一般的Musielak-Orlicz函数M(x, t, ξ)控制，右端项f仅属于L¹。由于数据正则性差，经典弱解概念不再适用，需要引入广义解的概念，即重正规化解和熵解。

重正规化解与熵解的存在唯一性

文章的核心贡献在于，通过精巧的密度论证，在很弱的正则性假设下，分别建立了重正规化解和熵解的存在性与唯一性定理。重正规化解的概念源于对解进行光滑截断后满足的方程在某种意义下收敛，而熵解则通过一族截断函数来定义，要求截断后的函数满足特定的积分不等式。证明的关键在于处理由非标准增长和低正则性数据带来的紧性困难。

重正规化解与熵解的等价性

一个重要的发现是，在该文建立的框架下，重正规化解和熵解这两个看似不同的广义解概念实际上是等价的。这意味着对于所考虑的这类广义非线性抛物方程，两种解的定义刻画了同一类对象。这一等价性结论统一了以往在不同设定下（如经典Orlicz空间、变指数空间）分别对两类解的研究。

应用的广泛性

文章的结果具有高度的概括性，其框架涵盖了多种重要的特殊情形：

1. 1.
   Orlicz增长：当M(x, t, ξ) = M(ξ)时，退化为经典的Orlicz空间。
2. 2.
   变指数增长：当M(x, t, ξ) = |ξ|^p(x,t)时，对应变指数Sobolev空间。
3. 3.
   双相增长：当M(x, t, ξ) = |ξ|^p+ a(x)|ξ|^q时，对应近年来热门的双相问题。

结论与展望

该研究完善了在非常一般的Musielak-Orlicz空间框架下，处理具有L¹数据的非线性抛物方程的适定性理论。所建立的重正规化解和熵解的存在唯一性及其等价性定理，为分析更复杂的非线性演化问题提供了坚实的理论基础，并表明Musielak-Orlicz空间是处理非标准增长问题的有力工具。