惯性效应下假塑性流体在刮刀涂布过程中的数学建模与流动特性分析

《Journal of Taibah University for Science》：Mathematical analysis of blade coating process of pseudoplastic fluid under inertial effect

本文综述了刮刀涂布过程中假塑性流体在惯性效应下的流动特性数学建模与分析。研究采用Langlois递归方法结合逆解法求解非线性偏微分方程，系统分析了刀片-基材夹角区域的流速、压力及应力分布，揭示了惯性力对涂层均匀性的增强机制（Re），并探讨了韦森伯格数（Wi）和弛豫时间（β）对剪切稀化流体（pseudoplastic fluid）涂层界面稳定性的影响。该研究为高性能功能涂层（如柔性电子、生物医用涂层）的工艺优化提供了理论支撑。

　　

数学建模与控制方程

刮刀涂布技术通过刀片与移动基材形成楔形区域实现液体薄膜的均匀涂覆。该研究针对假塑性流体（伪塑性流体）在惯性效应下的稳态不可压缩二维流动建立数学模型，控制方程包括质量守恒方程（?·U=0）和动量守恒方程（ρDU/Dt=-?p+divτ）。本构方程采用描述剪切稀化特性的微分型流体模型，应力张量τ满足τ+λτ₁+1/2(λ-μ)(A₁τ+τA₁)=ηA₁，其中λ为弛豫时间，μ为材料常数，η为动力粘度，A₁为第一Rivlin-Ericksen张量。在极坐标系(r,φ)下，基材位于φ=0处以速度(-εV,0)运动，刀片固定于夹角φ=φ₀处，边界条件满足无滑移条件。

递归求解方法

采用Langlois递归法将非线性问题分解为不同阶次的线性问题。一阶问题退化为线性偏微分方程，通过引入流函数Ψ⁽¹⁾=Vrf(φ)将控制方程简化为双调和方程?⁴Ψ⁽¹⁾=0，获得径向速度u₁⁽¹⁾=Vf'(φ)和方位角速度u₂⁽¹⁾=-Vf(φ)。二阶和三阶问题通过递归展开分别求解，其中二阶流函数表示为Ψ⁽²⁾=ReV²r²f₁(φ)+V²g₁(φ)，三阶流函数包含惯性项(Re)和流体参数(β, Wi)的耦合影响。通过Mathematica 12.0求解各阶边值问题，获得完整的流速场、压力场和应力场解析表达式。

流动特性与惯性效应

分析表明，径向速度u₁随雷诺数(Re)、基材长度(r)和基材速度(V)增大而增强。当刀片-基材夹角φ处于0°-30°时流体出现反向流动，30°-60°时转为正向流动，且弛豫时间较长(β>0)的流体速度幅值显著高于弛豫时间较短(β<0)的情况。方位角速度u₂的变化规律与径向速度类似，但受韦森伯格数(Wi)影响更显著——Wi增大时流体记忆效应增强，导致近角区流速衰减。惯性力的存在使流动能突破黏性主导的蠕流限制，当Re≠0时流速较纯蠕流(Re→0)提升约25%。

应力奇点与涂层稳定性

在刀片尖端(r=0)附近出现应力和压力的二阶奇异性，其中法向应力T_n和切向应力T_t按1/r²发散。计算显示：基材速度V提升50%可使切向应力增长约80%，而Wi从0.1增至0.5会导致法向应力峰值偏移15%。通过应力分解公式L=T_ncosφ₀+T_tsinφ₀和D=T_nsinφ₀-T_tcosφ₀发现，当φ₀>45°时拉伸应力L占主导，易引发涂层剥离；φ₀<30°时剪切应力D主导，有利于涂层均匀铺展。

流线演化与工艺优化

流线分析揭示刀片夹角φ₀对流动结构的关键影响：当φ₀<30°时流线在角区高度扭曲，形成涡旋区；φ₀增至60°后流线趋于平行，能量耗散降低40%。压力分布表明，基材速度V增加2倍可使近壁区压力提升150%，而弛豫时间β增大则通过弹性记忆效应使压力峰值向刀片尖端移动。通过对比惯性(Re≠0)与非惯性(Re→0)工况，证实惯性力可使涂层厚度均匀性提高30%，特别适用于高粘度伪塑性流体（如聚合物溶液）的高速涂布场景。

结论验证与应用前景

通过残差分析验证了解析解的可靠性，动量方程残差E₁(r,φ)和E₂(r,φ)量级为10^-9。该模型可退化为牛顿流体(Wi=0,β=0)、上随体Maxwell流体(β=0)等特例，与文献结果一致。研究成果为光伏薄膜、柔性电子电极等功能涂层的工艺参数优化提供了理论依据，后续可拓展至三维流动、湍流工况及基材旋转效应等复杂场景研究。