利用加权整数剪切平均值的分数横向剪切测量波前重建

《Optics and Lasers in Engineering》：Wavefront reconstruction for fractional lateral shear measurements using weighted integer shear averages

针对剪切干涉仪中非整数剪切导致的波前重建误差问题，提出加权整数剪切平均法，结合多整数剪切值重建结果，有效消除一阶和二阶误差，验证其优于传统单剪切方法，并适用于二维情况。

　　

萨米娅·赫什马特（Samia Heshmat）|智史·富冈（Satoshi Tomioka）|宫本直树（Naoki Miyamoto）|山内雄二（Yuji Yamauchi）|松本勇（Yutaka Matsumoto）|东直树（Naoki Higashi）

机构：阿斯旺大学工程学院（Faculty of Engineering, Aswan University），邮政编码：81542，城市：阿斯旺（Aswan），国家：埃及（country：Egypt）

摘要

在横向剪切干涉测量中，波前重建通常假设剪切量是采样间隔的整数倍。当剪切量是分数时，用最接近的整数值进行近似会导致明显的重建误差。为了解决这个问题，我们提出了一种加权整数剪切平均方法。该方法结合了来自相邻整数剪切的重建结果，并通过精心选择的权重来消除主要误差项。分析误差表明，两次剪切平均可以消除一阶误差，而三次剪切平均可以消除二阶误差。使用测试波前的数值模拟证实，该方法比传统的单次剪切重建方法具有更低的均方根误差（RMS error）。该技术简单、计算效率高，并且可以很容易地扩展到二维干涉测量中。这使得加权整数剪切平均成为在不可避免出现分数剪切时进行波前重建的实用且准确的方法。

引言

干涉仪被广泛用于波前测量和光学计量应用[1]、[2]、[3]。在传统的双光束干涉仪中，如迈克尔逊（Michelson）或马赫-曾德尔（Mach-Zehnder）配置中，物体光束和参考光束沿着不同的光路传播。这种路径分离使得系统对振动、温度梯度和空气湍流等环境干扰非常敏感，而这些干扰在实际中很难校正[4]、[5]。此外，由于需要分割和重新组合光束，因此需要大量的光学元件，这进一步增加了系统的复杂性和对噪声源的敏感性。

例如，在某些测量系统中，如计算机断层扫描（CT）或层析相位显微镜中，通过改变探测光束的入射角度来进行波前测量[6]、[7]、[8]、[9]。在这种情况下，每个光学元件的振动和错位会独立作用，进一步增加了干涉测量的复杂性。相比之下，剪切干涉仪提供了一种更稳健的方法：物体波前在经过被测物体传输或反射后会被分成两束平行的光束：原始物体光束和横向位移的副本（剪切光束）[10]、[11]。这两束光束相互干涉，几乎共享相同的光路，并且所需的光学元件比传统双光束干涉仪少，从而减轻了对环境的敏感性和系统的复杂性。

然而，与双光束干涉仪不同，剪切干涉仪记录的干涉条纹只编码了两束光束之间的波前差异，而不是绝对波前本身。因此，需要通过数值处理从这种差异测量中重建实际的物体波前。数学上，对于横向剪切量 s ，测量的差分相位f^M(x, s)与原始物体波前?(x)之间的关系可以表示为：

为了解决横向剪切干涉测量中的波前重建问题，开发的方法大致可以分为模态（modal）方法和区域（zonal）方法。后者又进一步分为两类：基于空间域最小二乘法的方法和基于傅里叶变换（FT）的方法。在模态方法中，未知波前?(x)使用正交基函数（通常是Zernike多项式）进行展开[12]、[13]、[14]、[15]、[16]、[17]、[18]、[19]。这些方法对测量噪声具有鲁棒性，但倾向于平滑高频或局部波前变化。在基于空间域最小二乘法的区域方法[20]、[21]、[22]、[23]、[24]中，重建问题被表述为一组方程，其中要解决的变量是测量像素处的波前。由于变量数量较多，求解这些方程需要较高的计算成本。此外，这些方法存在秩不足的问题。可以通过使用多剪切方法来解决，这些方法采用两个或更多具有不同剪切量的相位差测量值。相比之下，基于FT的区域方法[25]、[26]不需要求解联立方程，因为它们只需要进行傅里叶变换、乘以一个因子以及逆傅里叶变换。

然而，基于FT的重建方法在重建误差方面存在几个固有的限制。首先是光谱域中1/s谐波成分的丢失。为了解决这个问题，提出了使用Tikhonov正则化[27]或类似于基于空间域最小二乘法的多剪切方法[28]、[29]。第二个主要问题是FT基于周期性边界，当底层相位是非周期性的时会导致光谱泄漏。Elster等人[30]、[31]、[32]提出的自然扩展技术通过引入数学上一致的域填充来减轻边界伪影，这种方法已应用于许多应用[9]、[33]、[34]、[35]、[36]。Tomioka等人[37]提出了一种结合光谱插值方法和自然扩展方法的方法，以解决1/s谐波丢失问题并解决一维重建的周期性问题。这种方法只需要在一个维度上进行一次差分相位测量。对于二维重建，它还结合了最小二乘法[38]来解决均匀波前的不确定性，即所谓的活塞项（piston term）。然而，关于剪切量的限制仍然存在。

横向剪切干涉测量的基本原理和大多数波前重建方法假设测量过程中施加的剪切是空间采样间隔δ_x的整数倍。然而，在实际系统中，将剪切值限制在离散的网格对齐步骤上往往是不切实际的。机械或电子控制的限制，或者对更高分辨率的需求，经常导致使用非整数（分数）剪切。这种不匹配引入了一个重大挑战。在本文中，我们对波前重建误差进行了详细的理论分析，推导出了使用相邻整数剪切代替真实分数值所引入的重建误差的表达式。误差可以表示为归一化剪切差异的级数展开，其主要项与偏差的一阶和二阶幂成正比。此外，我们基于这一理论基础开发了一种实用的方法来减少分数剪切测量中的重建误差。

本文的结构如下：第2节回顾了剪切干涉条纹分析过程。第3节总结了分数剪切替代的分析误差表达式。此外，该节介绍了提出的多重整数剪切平均方法，并提供了其有效性的数学基础。第4节通过数值模拟验证了所提出的方法，第5节讨论了未来的研究方向。

节选

剪切干涉条纹分析过程

与传统的双光束干涉仪不同，剪切干涉仪通过横向位移物体光束本身来产生干涉。因此，记录的干涉条纹代表的是同一波前的两个横向位移副本之间的相位差，而不是绝对相位分布。这使得直接解释测量的强度模式变得复杂，需要数值重建来进行解析。

使用多重整数剪切平均减少主要误差

为了减轻由分数剪切测量引起的重建误差，我们提出了一种加权整数剪切平均方法。核心思想是利用整数剪切替代的特性来抑制?_{s; S}(x)中的主要误差成分。为了阐明分数剪切测量的数值重建过程，我们首先定义