在物理知识驱动的神经网络中实现的任务感知进化：应用于Saint-Venant扭转问题

《Engineering Applications of Artificial Intelligence》：Task-aware evolution in physics-informed neural networks: Application to Saint-Venant torsion problems

圣维南扭转理论通过物理信息神经网络（PINN）实现新型数值方法，解决传统有限元法的高计算成本问题，提出标准PINN、变量缩放PINN（VS-PINN）和参数化PINN框架，分别提升几何适应性、刚度处理能力和多参数效率，误差控制在0.1%-3.0%，效率较FEM提升百倍。

　　

朱秀英（Suyeong Jo）| 朴尚贤（Sanghyeon Park）| 申智淑（Jeesuk Shin）| 朴钟川（Jongcheon Park）| 金昊成（Hosung Kim）| 科承灿（Seungchan Ko）| 李尚成（Sangseung Lee）| 郑钟九（Joongoo Jeon）

韩国全北国立大学量子系统工程系，全州

摘要

圣维南（Saint-Venant）扭转理论是一种用于分析结构部件扭转行为的经典理论。传统的数值方法，包括有限元方法（FEM），通常依赖于基于网格的方法，这往往会导致计算成本的显著增加。本研究的目的是开发一系列基于物理信息神经网络（PINN）的新数值方法来求解圣维南扭转方程。利用神经网络的自动微分能力，PINN可以在不需要复杂计算技术的情况下提供偏微分方程（PDE）的求解器。我们提出了一个集成框架，该框架同时解决了单实例刚度问题（通过VS-PINN）和多查询参数效率问题（通过Parametric PINN），这是以往研究中尚未探索的。首先，开发了一个PINN求解器来计算具有任意截面几何形状的杆件的扭转常数。随后，开发了一个能够处理具有尖锐几何过渡情况的求解器；可变缩放PINN（VS-PINN）。最后，构建了一个参数化PINN以克服传统单实例PINN的局限性。所有三种求解器的结果都与参考解非常吻合，证明了它们的准确性和鲁棒性。具体来说，对于圆形和方形截面，我们报告的误差为0.1%；对于三角形截面，使用PINN时的误差为3.0%；在刚性一维情况下，使用VS-PINN时误差从0.97%降低到0.11%；对于参数化PINN，在不同的扭矩参数下误差为1.0%。一旦训练完成，参数化PINN可以以显著的效率预测不同PDE数据或问题设置的解。由于参数化PINN无需重新训练，与FEM相比，它可以在大量实例的情况下实现超过100倍的速度提升。每种求解器都可以根据具体任务选择性地使用，确保其应用符合特定目标，如几何特定求解、处理刚度或参数化泛化。

引言

机械结构中的扭转问题在工程和物理学中都是基础性的，在众多行业中分析和设计承载部件时起着关键作用。应用范围从汽车和航空航天工程中的动力传输系统到机械执行器和生物医学设备。在汽车工程中，扭转分析对于驱动轴、齿轮箱外壳和转向部件的设计至关重要，因为过度扭转可能导致安全和性能问题。在航空航天结构中，桁架、机翼盒和转子轴经常受到扭转载荷的影响，需要准确预测扭转和剪切应力分布，以确保结构完整性同时最小化重量。分析此类问题的核心框架是圣维南扭转理论，它为计算受扭转载荷作用的长棱柱形杆件的角位移和剪切应力分布提供了基础。这一理论基于弹性理论，可以使用普朗特尔应力函数（Ecsedi, 2009, Ecsedi and Baksa, 2010）重新表述为泊松型方程，从而在线性弹性假设下进行实际建模。

对于几何形状简单的棱柱形杆件，解析解已经很成熟。然而，对于一般或空间变化的截面，解析方法不可行。在这种情况下，通常采用数值方法，如有限元方法（FEM）（Jog and Mokashi, 2014）、有限体积方法（FVM）（Chen, 2019）以及基于谱或傅里叶的技术（Ike, 2019, Ike and Oguaghamba, 2023, Ike, 2024）。尽管这些方法准确，但它们严重依赖于网格生成和数值积分，导致高计算成本——特别是对于高分辨率的3D域或多参数载荷条件（Fogang, 2022）。为了捕捉几何不连续性，通常需要细网格，从而导致大量内存使用和每次运行的时间延长至数小时（Krahula and Lauterbach, 1969）。Shamloofard等人指出，这主要是由于在这些问题中需要考虑大量的元素和节点来近似场变量（Shamloofard et al., 2021）。这严重限制了它们在迭代设计或优化工作流中的适用性。近年来，科学机器学习引入了求解偏微分方程（PDE）的新范式（Jeon et al., 2022, Jeon et al., 2024, Khanal et al., 2025），尤其是物理信息神经网络（PINN）（Raissi et al., 2019）。PINN将控制方程嵌入神经网络的损失函数中，绕过网格生成，直接用连续可微函数近似PDE解。尽管在流体力学、热传递和弹性学中取得了成功，但它们在圣维南扭转问题中的应用仍然很少。几何过渡附近的固有刚度和陡峭梯度使得这个问题特别具有挑战性。此外，标准PINN通常需要针对每个边界或载荷配置重新训练，降低了参数研究的效率。目前还没有无网格计算框架能够在（1）处理陡峭的几何梯度和（2）实时设计空间探索方面实现鲁棒性。因此，本研究的主要目标是通过开发此类框架来解决这一差距。

本文的其余部分组织如下。第2节回顾了相关工作。第3节强调了研究的意义，第4节回顾了圣维南扭转理论。第5节详细介绍了所提出的方法，包括标准PINN、可变缩放PINN和参数化PINN框架。第6节描述了我们将应用这些方法的问题，第7节报告了数值结果。第8节讨论了结果并强调了其含义。最后，第9节总结了关键发现并提出了未来研究的方向。

相关工作

物理信息神经网络（PINN）的发展导致了多种算法变体的出现，这些变体旨在提高稳定性、准确性和可扩展性，超越了原始公式。其中，扩展PINN（XPINN）引入了一种时空域分解策略，将计算域划分为子域并在子域中训练局部子网络，从而在大型或异构问题上提高收敛性，并实现并行化（Jagtap and Karniadakis, 2020）

研究意义

本研究的主要贡献有三个方面。首先，开发并验证了一个基于PINN的圣维南扭转问题求解器，为2D泊松型方程提供了一种无网格、可微分的替代方案，替代了FEM。其次，可变缩放PINN（VS-PINN）通过缩放变换规范了空间梯度，提高了几何刚性区域的学习稳定性和准确性。第三，参数化PINN扩展了求解器，使其能够处理可变扭矩剖面

泊松方程的推导

使用PINN解决圣维南扭转问题时，必须清楚地理解控制方程。控制方程必须作为PINN的损失函数精确实现。在本节中，我们推导了控制圣维南扭转问题的泊松方程。在圣维南假设中，我们假设扭转率是恒定的，并且截面在$z$方向上可以自由变形，但所有截面的变形程度相同。

提出的物理信息神经网络

在本节中，我们将简要介绍PINN框架以及将在后续章节中使用的几种更高级的变体。我们首先介绍标准PINN，它作为基线模型（Raissi et al., 2019）。接下来，我们描述了一种称为VS-PINN的新方法，该方法显著提高了PINN的训练效率（Ko and Park, 2025）。正如我们稍后将展示的，这种方法在准确性和

带有缩放普朗特尔应力函数的2D泊松方程

扭转常数是一种极惯性矩，用于计算截面的扭转刚度。计算扭转常数是一个具有挑战性的常数。其计算取决于剪切应力的分布，而剪切应力分布又高度依赖于截面形状。因此，如果提供了剪切应力分布函数，就可以通过对整个截面进行积分来获得单位旋转的扭转常数。然而，由于

结果

在本节中，我们将使用FEM结合之前介绍的方法（PINN、VS-PINN和参数化PINN）来计算扭转问题的解。在展示结果之前，下表总结了将在后续章节中使用的神经网络架构。

我们将使用本节后面描述的预定义敏感性研究来选择最终架构。我们在有界网格内改变了深度、宽度和激活函数，并进行了比较

讨论

上述部分已经验证了所开发的PINN模型的准确性和适当的收敛性。因此，我们可以将它们与之前的PINN模型进行比较，重点关注它们对刚性梯度的处理、重新训练需求、数据依赖性以及参数分析中的计算效率（表5）。后续讨论提供了对每个模型性能的更详细分析以及所提出方法的影响。

结论

本研究提出并验证了一系列基于PINN的框架，用于解决圣维南扭转问题，旨在解决传统基于网格的方法（如FEM）中固有的计算挑战。通过系统地应用标准PINN、可变缩放PINN（VS-PINN）和参数化PINN，我们证明了物理信息学习可以提供与传统方法相当或更高的准确性和效率，同时提供了额外的

CRediT作者贡献声明

朱秀英（Suyeong Jo）：撰写——原始草稿、可视化、软件。朴尚贤（Sanghyeon Park）：撰写——原始草稿、可视化、软件。申智淑（Jeesuk Shin）：撰写——审阅与编辑。朴钟川（Jongcheon Park）：资源提供。金昊成（Hosung Kim）：资源提供。科承灿（Seungchan Ko）：撰写——原始草稿、调查、概念化。李尚成（Sangseung Lee）：撰写——原始草稿、调查、概念化。郑钟九（Joongoo Jeon）：撰写——原始草稿、调查、资金获取、概念化。

利益冲突声明

作者声明他们没有已知的竞争财务利益或个人关系可能影响本文报告的工作。

致谢

作者感谢现代汽车集团通过Future POC计划（车辆研究合作-创新技术）以及韩国政府的国家科学技术研究委员会（NST）（项目编号：GTL24031-000和RS-2025-02634798）的支持。