多表面塑性的隐式数值积分方法，适用于平面应力及三维应力条件

《Finite Elements in Analysis and Design》：Implicit numerical integration of multisurface plasticity for both plane stress and three-dimensional stress conditions

多表面塑性模型的隐式积分算法研究，提出基于牛顿-拉夫逊方法的算法，通过互补函数处理多屈服面，统一解决平面应力与三维应力条件，实验验证其高效性和稳定性。

　　

Rafael Abreu|Cristian Mejia|Deane Roehl

马兰豪州立大学土木工程系，保罗六世大学城，洛伦索·维埃拉·达席尔瓦大道1000号，贾丁·圣克里斯托旺，65055-310，圣路易斯，MA，巴西

摘要

为弹塑性模型制定鲁棒积分算法对于高效准确地模拟混凝土、岩石和土壤等材料至关重要。虽然传统的弹塑性模型通常使用单一屈服面，但使用多个屈服面可以捕捉更复杂的行为。另一方面，在有限元框架内实现这些模型需要复杂的数值方法，特别是基于后向欧拉方法的隐式积分方案，以确保准确性和稳定性。本文介绍了一种基于牛顿-拉夫森法的新型隐式积分算法，适用于多表面塑性模型，能够处理平面应力和平面应力条件。所提出的算法采用成熟的平滑互补函数来处理多表面塑性，无需专门的方案来识别活动表面。此外，该算法通过修改基于平面应变条件的计算来处理平面应力塑性。研究包括对三种互补函数的计算效率进行评估，考虑了各种有限元问题。通过一系列数值实验验证了算法的鲁棒性，突显了其在具有挑战性的工程应用中的潜力。

引言

工程材料的结构响应受到多种多尺度现象的影响，这为开发统一的数学模型以应用于工程带来了重大挑战。为了解决这个问题，人们在宏观力学层面忽略了材料的不均匀性，开发了基于塑性理论的模型。这些模型提供了数学支持，用于描述固体在循环加载下的永久应变行为[1]。

屈服面是弹塑性模型的关键组成部分，因为它们定义了弹性域的边界。通常，这些模型由一个唯一的屈服面定义[2,3]。另一方面，也可以采用多个屈服面来定义弹塑性模型，主要是为了描述复杂的本构行为。这种类型的塑性模型在各种工程应用中很常见，如Louren?o和Rots[4]、Mackenzie-Helnwein等人[5]、Lukacevic等人[6]以及Xie等人[7]所展示的。

在有限元模拟器中实现弹塑性本构模型需要积分本构演化方程。尽管存在解析和半解析的积分方法，但它们仅适用于某些条件[8,9]。因此，通常使用数值方法来积分这些方程。虽然基于前向欧拉方法的显式积分算法实现起来较为直接，但对于大的应变增量，它们可能无法提供所需的精度[[10], [11], [12]]。因此，基于后向欧拉方法的隐式积分方案因其出色的精度和稳定性而被广泛采用[[13], [14], [15], [16], [17], [18], [19]]。重要的是，多表面塑性的隐式方案涉及复杂的积分算法，以确定哪个表面包含更新的状态。

Simo及其同事的开创性工作[21]引入了一种适用于通用多表面塑性模型的隐式积分算法，包括对粘塑性的扩展。从那时起，许多其他作者继续改进算法以解决多表面塑性问题，近年来取得了显著进展[[22], [23], [24], [25], [26]]。一种鲁棒的算法能够有效处理复杂的应力轨迹和大的应变增量。克服这些问题需要针对适当的数值策略进行具体研究。

在数值背景下，隐式积分方案通常与求解非线性方程组相关联。经典的牛顿-拉夫森方法因其收敛特性而成为常见选择。然而，正如Armero和Pérez-Foguet[27]所报告的，这种方法在复杂本构模型的情况下并不保证收敛。Bi?ani?和Pearce[28]以及Lester和Scherzinger[29]也报告了类似的问题。Scherzinger[30]验证了称为最近点投影的隐式算法可能会进入无限迭代循环，从而减小了该方法的收敛范围。

除了鲁棒性、效率和精度之外，积分方案的多功能性也是这些算法的重要特性。然而，许多现有算法是为特定的本构模型设计的[[31], [32], [33]]，这限制了它们的适用性。模拟单表面和多表面塑性需要不同的方案，因为后者使用特定过程来识别问题的活动表面[24,21]。同样，平面应力塑性的独特特性通常需要定制的算法[[19], [34], [35]]。

在文献中，平面应力塑性通常通过采用针对这种状态的特定算法来处理，而平面应变、轴对称和三维条件则使用单独的算法。这是因为弹塑性初始值问题的原始公式将所有应力分量视为未知值，而在平面应力分析中，其中一个分量被规定为零。然而，一些研究人员致力于提供通用的塑性实现。例如，de Borst[36]引入了一种在结构层面上应用的隐式算法，以强制满足平面应力条件。这种方法消除了对平面应力塑性的专用子程序的需求，允许使用标准的三维算法。Dodds[37]研究了一种基于径向回归映射的冯·米塞斯模型，该模型具有混合各向同性和运动硬化特性。在高斯点层面，作者提出了一种方案，利用外部牛顿-拉夫森循环在标准三维算法中强制满足平面应力约束。在每次外部牛顿-拉夫森迭代中，都会考虑更新后的平面外总应变来运行径向回归映射。Ohno等人[38], [39]提出了适用于冯·米塞斯模型的隐式积分算法。平面应力约束直接纳入本构方程的增量公式中，从而可以为平面应力和平面应力条件定义一个统一的算法，需要对平面应力情况的一致切线模量进行静态凝聚。

Grange[40]提出了一种基于多表面塑性的策略，以在单表面塑性情况下强制满足平面应力约束。作者实现了一个具有混合各向同性和运动硬化的冯·米塞斯模型，并通过使用额外的屈服面（应力空间中的超平面）施加零应力条件。Santana等人[41]为通用单表面模型开发了一种高效且内存消耗低的回归映射算法，能够处理一般的应力条件，包括平面应力条件。作者的公式严重依赖于静态凝聚。文献普遍缺乏对平面应力条件下多表面塑性的足够研究，因为大多数作者关注基于简单单表面的模型。

在这种情况下，提出一种能够处理多表面塑性并适应平面应力和平面应力条件的隐式积分方案是一项有吸引力的任务。为了为塑性计算方法做出贡献，本研究旨在基于两个关键特性提出一种新的基于牛顿-拉夫森法的隐式算法。首先，它通过使用互补函数来考虑多表面塑性，避免了定义活动表面的需要。这些函数适用于具有非线性弹性行为的弹塑性应用[[42], [43], [44]]和多表面塑性问题[23]。其次，该算法基于平面应变条件的计算来处理平面应力塑性。因此，所提出的算法可以考虑不同的应力条件。

部分摘录

本构方程

弹塑性本构模型的基本特征是超表面（也称为屈服面），它们定义了弹性域的边界。考虑到应力张量$\sigma$和内部变量张量$q$，这些模型可以通过多个屈服函数$f_i\left(\sigma ,q\right)$来定义，其中$i\in \left\{1,2,\dots ,N\right\}$

塑性允许的状态定义如下：

建模多表面塑性通常涉及

数值实验

在本节中，提出了几个基于有限元方法的实验，以评估所提出的基于互补函数的牛顿-拉夫森隐式积分方案的鲁棒性，如算法1所述。分析包括两个多表面塑性模型：Cap模型和Feenstra-de Borst模型。Cap模型描述了多种地质材料[61]，而Feenstra-de Borst模型代表了普通混凝土和钢筋混凝土的行为[32]。

结论

本研究提出了一种基于牛顿-拉夫森法的新型隐式积分算法，具有两个主要特点：结合了互补函数来考虑多表面塑性，并基于平面应变塑性计算平面应力塑性。还提出了用于平面应力塑性的恒定切线模量的表达式。因此，所提出的方案可以

CRediT作者贡献声明

Rafael Abreu：撰写——原始草稿、可视化、验证、方法论、研究、形式分析、数据整理、概念化。Cristian Mejia：撰写——审阅与编辑、验证、监督、资源管理、资金获取、形式分析、概念化。Deane Roehl：撰写——审阅与编辑、资源管理、项目协调、方法论、资金获取、形式分析、概念化。

利益冲突声明

作者声明以下财务利益/个人关系可能被视为潜在的利益冲突：Deane Roehl报告称获得了国家科学技术发展委员会（CNPq）的财务支持。Cristian Mejia报告称获得了国家科学技术发展委员会的财务支持。Deane Roehl报告称获得了里约热内卢研究支持卡洛斯·查加斯·菲略基金会（FAPERJ）的财务支持。

致谢

作者衷心感谢巴西国家科学技术发展委员会（CNPq）的资助（项目编号142461/2020-2、308056/2022-1和315077/2023-9），以及里约热内卢研究支持卡洛斯·查加斯·菲略基金会（FAPERJ）的资助（项目编号E-26/201.391/2021和E-26/200.463/2023）。本研究部分由高等教育人员培训协调委员会（CAPES）资助（财务代码001）。