《Finite Elements in Analysis and Design》：Partition of Unity-based four-node tetrahedral element for nonlinear structural analysis of nearly incompressible hyperelastic materials
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本文提出基于Partition of Unity（PU）方法的四节点四面体有限元单元（TET4E），有效缓解近不可压缩超弹性材料静力学和非线性模态分析中的体积锁定问题。通过线性多项式基函数扩展位移场，无需额外网格参数即可提升求解精度，并验证了在复杂变形下的良好收敛性能。
Taejung Lim|Minh-Chien Trinh|Hyungmin Jun
韩国全罗北道全州市德津区白济大路567号全北国立大学机械系统工程系，邮编54896
摘要
本研究介绍了一种改进的四节点四面体有限元方法，该方法采用“统一分割”（Partition of Unity）技术，用于近似不可压缩超弹性材料的非线性静态分析和模态分析。所提出的基于“统一分割”的元素有效减少了体积锁定现象，并提高了求解精度，同时无需增加节点数量。“统一分割”技术通过引入额外的多项式基函数来丰富位移场，实现更高阶的位移近似，从而有效缓解了体积锁定问题。Mooney-Rivlin和Neo-Hookean材料模型与惩罚法结合使用，确保了对近似不可压缩行为的稳健处理。大变形问题通过总拉格朗日公式进行处理。此外，还采用基于位移的直接迭代非线性模态分析方法来求解非线性固有频率和相应的模态形状。在非线性静态分析中，通过包括压缩块、大变形圆柱体、网格畸变敏感性分析以及压缩轮胎等多种数值案例，验证了所提出元素的有效性。即使使用粗糙的网格，该元素也能有效缓解体积锁定现象并表现出优异的性能。非线性模态分析应用于扭曲板的自由振动、截断圆柱壳以及超弹性软机器人等场景。
引言
超弹性材料因其能够发生大的弹性变形而在各种工程领域中发挥着关键作用，例如结构支撑、汽车零部件、油田中的弹性体以及减震装置[1,2]。准确建模这些材料对于设计能够在有效吸收冲击的同时保持形状的轮胎和悬架至关重要[3]，同时也适用于模拟模仿生物组织自然运动的医疗设备和植入物[4]。因此，精确的建模方法对于超弹性材料的有效设计和应用至关重要。
已经开发了多种基于连续介质力学的本构模型来描述超弹性材料[5]。Gent模型[6]表明，当超弹性材料发生极端变形时，应变能会趋于无穷大，这体现了由于链式延展性限制而产生的强抗性。Arruda-Boyce模型[7]通过反映基于微观力学的聚合物链网络的非高斯行为来预测材料变形。Neo-Hookean[8]和Mooney-Rivlin[9]模型将应变能密度表示为应变不变量的函数，以描述超弹性材料的非线性行为。
然而，由于材料的非线性和涉及的大变形，超弹性材料的结构分析特别具有挑战性，这需要复杂的计算过程[10]。即使开发了先进的本构模型，数值分析仍面临额外的困难，尤其是众所周知的体积锁定现象，即刚度矩阵变得病态[[11], [12], [13]]。体积锁定发生在近似不可压缩材料中，导致刚度被高估，从而产生不准确的解。因此，一些有限元（FE）公式在主要变量（即位移）上的收敛速度较低，可能会产生错误的依赖变量（即应力）[14]。
已经提出了多种策略来缓解体积锁定现象，这些策略大致可以分为三类。第一类修改数值积分方案。选择性或简化积分使用低阶求积法（通常是一个高斯点）来评估体积应变能，同时完全积分偏差分量[15]。这种方法计算效率高，但容易引入虚假的零能量模态，通常称为沙漏模态，需要额外的稳定性处理[16]。最近使用基于绝对节点坐标公式的梁元素进行的比较研究表明，简化积分方案在缓解锁定方面有效，但结论是没有任何基于积分的方法能够完全解决所有变形模式的锁定问题[17]。第二类修改离散应变或变形测量方法。B-bar方法用元素平均值替换应变-位移矩阵的体积分量，从而减少体积约束而不引入额外的自由度（DOFs）[18]。虽然在小应变下有效，但B-bar概念已通过F-bar方法扩展到大变形情况，该方法将变形梯度的体积部分投影到其元素平均值上[19]。最近的研究引入了高级变体，如虚拟元素方法（Virtual Element Method），即使在扭曲和粗糙的网格上也能有效缓解锁定[20]。此外，从F-bar概念衍生出的J-bar元素已成功应用于三维各向异性粘弹性软体机器人的建模，消除了锁定现象并准确再现了实验结果[21]。这些基于运动学的方法的准确性显著依赖于网格质量，在接近完全不可压缩的条件下可能会下降[22]。第三类通过混合公式增加自由度，引入独立的压力场与位移场相结合。这种混合方法本质上满足数学稳定性条件，因此能有效消除体积锁定[23,24]。最近的发展集中在稳定的等阶位移-压力公式上，这些公式在保持稳定性的同时最小化了额外的计算成本[25]。
“统一分割”（Partition of Unity, PU）方法[26]提供了一种缓解体积锁定的替代策略。PU方法通过划分分析域并结合子域的局部函数来构建位移场。与B-bar和F-bar方法不同，后者通过用平均值替换元素级别的体积应变或变形梯度分量来缓解体积锁定，PU方法通过局部多项式丰富来实现高阶近似，而无需生成额外的网格[13,27]。与传统方法相比，PU方法具有几个显著优势。首先，这种丰富直接捕获了位移场内的体积变形模态，消除了对额外压力自由度的需求。其次，PU框架本身支持p-适应性，允许在高变形或网格畸变区域局部提高近似阶数，从而提高精度[13]。然而，关于使用PU方法解决超弹性材料的体积锁定问题并提高非线性结构分析精度的相关研究尚未进行。
在本文中，我们提出了一种基于PU的四节点四面体有限元（TET4E），适用于近似不可压缩超弹性材料结构的非线性分析。所提出的元素在非线性静态和自由振动分析中有效缓解了体积锁定现象，提供了高精度解，并且在即使使用粗糙网格的情况下也表现出优异的收敛性能。我们的方法在PU框架内使用线性多项式基函数来丰富标准四节点四面体元素的位移场。这种丰富有效地防止了体积锁定，而无需引入额外的网格依赖参数或显著增加计算复杂性。第2节详细介绍了TET4E元素的公式，包括基于PU的近似、超弹性模型的整合以及用于大变形的总拉格朗日公式。我们解释了线性多项式基函数如何丰富位移场并防止体积锁定。第3节介绍了一种非线性模态分析程序，该程序将材料和几何非线性纳入基于PU的FE框架中。我们概述了用于捕获动态分析中幅度依赖行为的迭代过程。第4节提供了数值示例来验证TET4E元素的性能。对于静态问题，我们分析了受尖端力矩作用的悬臂梁、受压缩的近似不可压缩块、发生大变形的厚圆柱体以及受压缩的超弹性轮胎等结构。对于动态分析，我们研究了带有中心切口的扭曲板、带有中心切口的圆柱壳以及一侧固定的超弹性软体机器人。
章节摘录
近似不可压缩超弹性材料的几何非线性分析
本节提出了一个用于由近似不可压缩超弹性材料组成的结构的非线性静态分析框架，该框架采用基于PU的四节点四面体有限元。通过PU近似实现了高阶位移插值，有效表示了体积变形模态，从而缓解了体积锁定[28]。近似不可压缩的超弹性模型结合了Mooney-Rivlin和Neo-Hookean材料公式
超弹性材料的非线性模态分析
在本节中，我们介绍了一种非线性模态分析程序，该程序将材料和几何非线性结合到基于PU的FE框架中，用于超弹性材料结构的自由振动分析。在传统的线性模态分析中，固有频率和模态形状基于未变形配置固定，因此无法考虑超弹性材料的位移依赖刚度。我们的非线性模态分析克服了这一问题
数值示例
在本节中，我们提供了数值示例来验证所开发的基于PU的四节点四面体元素的性能。进行了多项静态和模态分析，以展示该四面体元素在非线性条件下的性能，特别是在解决体积锁定问题方面的表现。结果与现有研究的解进行了比较。表1列出了与所提出元素进行比较的有限元素列表。
结论
本研究开发了一种四节点四面体有限元（TET4E），采用“统一分割”（Partition of Unity, PU）方法，用于近似不可压缩超弹性材料结构的非线性静态和模态分析。通过在PU框架内用线性多项式基函数丰富标准四节点四面体元素的位移场，所提出的元素有效消除了体积锁定现象，并提高了FE解的性能
CRediT作者贡献声明
Taejung Lim：撰写 – 审稿与编辑、撰写 – 原稿、可视化、验证、方法论、形式分析、数据整理。Minh-Chien Trinh：撰写 – 审稿与编辑、撰写 – 原稿、验证、形式分析。Hyungmin Jun：撰写 – 审稿与编辑、撰写 – 原稿、监督、软件开发、形式分析、概念化。
利益冲突声明
作者声明他们没有已知的竞争性财务利益或个人关系可能影响本文所述的工作。
致谢
本研究得到了韩国国家研究基金会（NRF）的资助（由韩国政府（MSIT）提供，项目编号RS-2024-00357010），以及韩国贸易、工业与能源部（MOTIE）资助的技术创新计划——先进心血管生物力学3D建模与仿真软件：利用临床数据和生物特征信号（项目编号RS-2024-00444631），还有韩国健康产业开发研究所（Korea Health Industry Development Institute）资助的韩国健康技术研发项目（Korea Health Technology R&D Project）的支持
