一种用于异质材料中热应力问题的轴对称有限体积方法

《Finite Elements in Analysis and Design》：An axisymmetric finite-volume method for thermal stress problems in heterogeneous materials

轴对称热应力分析中提出了一种新型控制体积有限元法（ACV-FVM），采用三角环和四边环单元离散二维轴对称模型，结合staggered网格处理异质材料，迭代方法解决温度依赖性问题，验证了该方法的高效性和准确性，并发现元素中心输出方案能有效抑制多层材料中的应力振荡，应用于涂层缸套热应力分析，揭示温度依赖性材料属性导致的热应力增加约3.4%。

　　

陈琦李|宣凌宽|龚景峰|郭洪宇|顾乐

中国武汉科技大学机械工程学院

摘要

为了降低轴对称问题的计算成本，并扩展单元-顶点有限体积法（CV-FVM）的适用范围，本文提出了一种用于异质材料中轴对称结构瞬态热应力分析的轴对称单元-顶点有限体积法（ACV-FVM）。该方法的二维简化域采用3节点三角形环元素和4节点四边形环元素进行离散化。基于ACV-FVM的数值求解器用C++实现，可用于求解涉及均匀材料、多层材料、功能梯度材料以及具有温度依赖性材料的热机械耦合问题。数值结果与解析解和其他数值结果吻合良好。研究发现，与基于节点的输出方案相比，基于单元中心的输出显著抑制了多层材料中的虚假应力振荡。该方法已成功应用于具有热障涂层的圆柱衬套的热应力分析，结果表明温度依赖性材料特性导致同一位置的温度升高约1.5%，热应力升高约3.4%，这突显了在此类分析中考虑温度依赖性热机械行为的必要性。

引言

核反应堆和高速飞机中使用的压力容器和管道等结构部件会暴露在高温、大的温度梯度和周期性温度变化环境中[1]。功能梯度材料（FGMs）被广泛用作这些部件中的热障涂层（TBCs），这些部件会受到交变机械应力和热应力的作用。FGMs由两种或更多种材料组成，其材料特性在空间上连续变化，从而导致材料特性的相应变化[2]。因此，可以根据不同应用环境的需求进行定制[3]。

上述结构和机械部件处于超高温环境中，这会导致热传导的温度依赖性变化。通常情况下，随着温度的升高，比热容趋于增加，而密度、热导率和热扩散率则会降低。一些研究考虑了温度依赖性材料特性对FGMs的热弹性行为的影响[[4], [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11], [12], [13], [14]]。Masmoudi等人[4]研究了多孔功能梯度夹层板的水热机械响应，并提出了一种新的高度阶剪切变形理论，该理论无需剪切修正因子即可准确描述板的变形和屈曲行为。Chung等人[5]指出热导率与温度之间存在强相关性。这一特性在复合材料中尤为明显，因为不同材料的热导率随温度变化的方式可能不同。Xie等人[6]观察到石墨烯纳米带的热导率具有高度的温度依赖性。Demirbas[7]指出，与温度无关的材料特性相比，温度依赖性材料特性使得FGMs在温度、应变和应力方面表现出更高的水平。Mahdavi等人[8]分析了旋转FGM圆盘的热力学行为，并发现了忽略或考虑材料温度依赖性所得结果之间的显著差异。Shojaeefard和Najibi[9]证明，由于温度依赖性和材料特性的变化，空心厚2D-FGM圆柱的控制方程具有高度非线性。基于这项工作，Najibi和Talebitooti[10]进行了瞬态热弹性分析，发现沿轴向的材料分布变化对温度和应力分布有显著影响。Arefi[11]使用指数函数来模拟空心功能梯度（FG）圆柱中材料特性与温度之间的非线性关系。Kumar等人[12,13]专注于非线性完全耦合的瞬态热弹性问题，开发了一个结合温度依赖性材料特性和几何非线性的非线性模型。Najibi和Alizadeh[14]研究了在非线性热载荷作用下厚壁空心功能梯度圆柱中热应力的瞬态演变，强调了材料孔隙率和微观结构不均匀性对热弹性响应的影响。根据上述文献，为了准确预测温度分布，考虑温度依赖性至关重要。因此，本文考虑了温度依赖性对热应力分析的影响。

由于FG结构的异质性和温度依赖性，需要一种可靠且高效的方法来预测其热应力行为。然而，使用完整的三维模型可能会导致巨大的计算需求，在某些情况下使得分析不可行。在许多情况下，由于问题的轴对称性质，可以避免三维建模。尽管已经开发了一些解析或半解析方法[[15], [16], [17]]，但它们的适用范围仅限于简单结构。相比之下，数值方法通常是工程实践中的更好选择。已经开发了多种数值方法来解决这个问题。目前，用于解决FGM问题的主要数值方法包括有限元方法（FEM）[[18], [19], [20]], 有限体积方法（FVM）[22,23], 边界元素方法（BEM）[24,25]和无网格方法（MM）[26,27]。

为了避免三维建模，在开发了基于边的非结构化有限体积公式来处理热传导问题之后，Lyra等人[22,23]将其扩展到处理轴对称热传导问题。对于喷嘴热防护结构的热应力分析，Liang等人[28]提出了一种基于FVM的轴对称各向异性热应力公式。因此，开发适用于处理轴对称模型的FVM公式是非常有趣的。文献[29]证明了CV-FVM的优势，并已应用于各种问题，如文献[[30], [31], [32]中所讨论的。

本文开发了ACV-FVM，用于分析轴对称模型中的瞬态热应力问题。轴对称模型是通过将二维平面绕对称轴旋转2π弧度构建的。使用交错网格技术来处理异质材料，同时采用迭代方法来解决温度依赖性问题。通过将获得的结果与解析解或其他数值结果进行比较，证明了该方法的准确性。

数学公式

在本节中，基于ACV-FVM开发了一种适用于具有温度依赖性材料特性的轴对称结构热应力分析的数值方法。FGMs导致材料特性在空间上的变化，而材料温度依赖性导致温度解与材料特性之间的不匹配。第一个问题可以通过使用交错网格技术来解决，第二个问题可以通过迭代求解来处理

数值结果

本节通过四个数值示例来评估当前数值方法分析轴对称热应力问题的准确性和能力。这些示例包括一个均匀材料问题、一个多层材料问题以及两个涉及FGMs的问题。

为方便起见，定义相对误差：E = |(v-v_R)/v_R| × 100%，其中v和v_R分别是数值结果和参考结果。

ACV-FVM在带有TBC的圆柱衬套中的应用

考虑参考文献[37]中的柴油发动机圆柱衬套。圆柱衬套的内径为d = 200 mm，外径为D = 216 mm。其轴对称模型的尺寸如图18所示。边界条件详细信息见图19。圆柱衬套与框架之间的热传递系数和冷却温度分别为：h₁ = 1163 W/m²K，T₁ = 700 K，h₂ = 4652 W/m²K，T₂ = 700 K，h₃ = 2326 W/m²K，T₃ = 350 K。

结论

在本文中，我们将开发的ACV-FVM应用于分析异质材料中的轴对称瞬态热应力问题。我们详细推导了轴对称几何形状内混合三角形和四边形环元素的离散方程。根据结果和对比案例，得出以下结论：

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ACV-FVM是分析轴对称问题中热应力的可靠且高效工具。它展示了出色的数值

CRediT作者贡献声明

陈琦李：撰写——原始草案、软件、方法论。宣凌宽：撰写——审阅与编辑、方法论、概念化。龚景峰：资金获取、概念化。郭洪宇：验证、软件。顾乐：可视化、验证。

利益冲突声明

作者声明他们没有已知的可能会影响本文报告工作的财务利益或个人关系。

致谢

本工作得到了汉江国家实验室Open基金项目（KF2024016）的支持。我们对此表示衷心的感谢。