Quantasio：一个用于求解三维纳维-斯托克斯动力学的通用神经框架

《IEEE Transactions on Artificial Intelligence》：Quantasio: A Generalized Neural Framework for Solving 3-D Navier–Stokes Dynamics

物理信息神经网络（PINNs）在求解高维复杂PDEs时面临收敛困难、边界条件约束不足及内存消耗过高等问题。本文提出的Quantasio框架通过残差网络架构、领域特定重参数化及自适应损失加权等技术，在三维Navier-Stokes方程、扩散-反应方程及波动方程等场景中实现60%收敛加速、50%内存优化，并保持物理一致性，为实时三维流体仿真提供高效解决方案。

　　

影响声明：

偏微分方程（PDEs）是众多科学和工程领域的核心，用于模拟复杂现象，如流体动力学、热传递等...显示更多

摘要：

偏微分方程是众多科学和工程领域的基石，用于模拟流体动力学、热传递和电磁学等现象。传统的数值求解方法虽然准确，但计算成本高昂，通常不适用于实时应用或高维系统。最近在物理信息神经网络（PINNs）方面的进展显示出解决这些限制的潜力；然而，现有的PINN框架在收敛性、边界条件处理以及扩展到多变量、高维偏微分方程方面仍面临挑战。本文介绍了Quantasio，这是一个基于PINN的框架，它利用受残差网络启发的架构和特定领域的重新参数化方法，能够在多种时空场景下高效准确地求解偏微分方程，特别是在三维空间中的纳维-斯托克斯动力学问题。Quantasio通过引入自适应损失加权、先进的梯度稳定技术和强大的边界条件处理机制，解决了传统PINN的关键问题。在包括扩散-反应方程、波动方程和流体动力学在内的多种偏微分方程上进行了性能评估，显示出卓越的准确性，收敛时间最多可缩短60%，同时保持了物理一致性。Quantasio将GPU峰值内存使用量降低了50%，并且其残差值低于领先的PINN和基于算子学习的框架。我们的实验表明，Quantasio能够有效处理湍流和复杂几何形状，使其成为实时三维纳维-斯托克斯动力学的高效且可扩展的求解工具，适用于工业和科学领域的实时仿真。

引言

近年来，深度学习作为一种近似求解偏微分方程的工具应运而生。Raissi等人[1]在物理信息神经网络（PINNs）方面的开创性工作标志着一个范式的转变，他们将控制方程直接嵌入到损失函数中，使神经网络能够在无需密集数值网格的情况下近似求解。此后，PINNs在多个方面得到了扩展：梯度增强型PINNs[2]提高了梯度估计的准确性；h-p自适应变分物理信息神经网络（hp-VPINNs）[3]通过域分解来处理局部特征；还有其他研究致力于在训练过程中缓解梯度问题[4]。Karniadakis等人[5]对这些进展进行了统一探讨，指出了PINNs在正向和逆向问题中的潜力和局限性。PINNs在求解单变量偏微分方程方面的成功为解决多变量和时空问题奠定了基础。例如，针对复杂几何形状的深度学习框架[6]，以及DeepONet[7]将通用逼近定理扩展到非线性算子，促进了基于算子的参数化偏微分方程学习。与此同时，傅里叶神经算子（FNOs）[8]为参数化偏微分方程引入了谱方法，显示出对高维问题的出色可扩展性。然而，随着这些方法的发展，多变量偏微分方程（如纳维-斯托克斯方程）因其在建模流体流动和湍流中的基础作用而成为研究焦点。值得注意的贡献包括纳维-斯托克斯傅里叶神经网络（NSFnets）[9]，它将PINNs应用于不可压缩纳维-斯托克斯方程；以及基于能量的物理信息神经网络（EPINN-NSE）[10]，该网络引入了增强物理约束以提高解决方案的真实性。尽管取得了这些进展，但仍存在一些研究挑战。训练PINNs的计算成本对于许多实际问题来说仍然过高，尤其是在高维情况下。此外，现有方法往往难以处理湍流、尖锐梯度和复杂边界条件，导致收敛效果不佳和物理不一致性。例如，正如Zheng等人[11]的研究所指出的，PINNs对梯度反向传播的依赖会导致效率低下；他们引入了变量变换来提高PINN的性能。另外，内存效率问题也被认为是基于算子的方法（如FNOs[8]）的一个关键瓶颈。