探索基于物理优化的神经运算符在预测车辆-桥梁系统动力学中的应用：从1自由度（1-DOF）模型到13自由度（13-DOF）模型

《Journal of Sound and Vibration》：Exploring physics-enhanced neural operators for predicting vehicle-bridge dynamics: From 1-DOF to 13- DOF vehicle models

车辆-桥梁耦合动力学（CVBD）预测中，Fourier神经网络算子（FNOs）作为代理模型被应用于1-DOF至13-DOF不同复杂系统。通过对比输入特征设计、输出策略和损失函数形式，研究发现：引入路面导数输入和扩大归一化范围可显著提升加速度响应预测精度；高维系统中联合预测位移、速度和加速度，采用加权数据损失函数无需额外物理约束即达最优性能。

　　

Jin Zhu|Yijun Zhu|Mengxue Wu|Xingyu Lan

西南交通大学桥梁工程系，中国四川成都610031

摘要

准确高效地预测车辆-桥梁耦合动力学（CVBD）对于结构安全评估、乘坐舒适性评价和智能维护至关重要。虽然传统的数值求解器能够提供高保真度，但它们通常计算成本较高，尤其是在涉及参数不确定性和随机激励的大规模仿真或实时评估中。本研究探讨了傅里叶神经算子（FNOs）作为CVBD预测替代模型的适用性，这些模型适用于从简化的1自由度（1-DOF）到全尺寸13自由度（13-DOF）的各种车辆系统。研究不仅强调了基于物理的约束，还系统地比较了不同的输入特征设计、输出策略和损失函数公式。结果表明，结合道路粗糙度导数并使用更宽的归一化尺度可以显著提高预测精度，尤其是在加速度响应方面。对于高维系统，当使用加权数据损失函数同时预测位移、速度和加速度时，可以获得最佳性能，而无需额外的基于物理的项。这些发现为构建基于FNO的CVBD替代模型提供了宝贵的见解，并强调了输入输出设计和损失函数选择在实现精度和效率方面的重要性。

引言

准确预测车辆-桥梁耦合动力学（CVBD）在结构安全评估、乘坐舒适性评价和基础设施维护中具有关键作用[1]。随着交通负荷和结构复杂性的增加，对高效可靠的CVBD建模的需求显著增长。然而，移动车辆与桥梁结构之间的固有耦合，加上系统不确定性和随机激励，使得动态分析变得极具挑战性。尽管传统的数值方法可以提供高保真度的解决方案，但其有限的可扩展性和计算效率限制了它们在大规模参数研究或实时应用中的使用。与此同时，基于机器学习的新兴数据驱动方法为响应预测提供了有希望的替代方案。然而，大多数现有模型难以在不同结构配置、加载条件和自由度下进行泛化，特别是在系统参数发生变化时。因此，开发平衡精度、适应性和效率的建模技术仍然是车辆-桥梁相互作用动力学领域的一个开放且紧迫的问题。

传统上，车辆-桥梁耦合动力学（CVBD）是使用基于物理的数值求解器进行建模的，研究重点在于提高仿真效率。通常采用两种主要策略：模型简化和算法加速。例如，模态叠加通过保留主导振动模式来降低系统维度，从而加快仿真速度而不牺牲精度。算法改进也推动了该领域的发展。Yang等人[2]提出了移动内部节点元素方法，避免了在移动接触点处的重复插值。Stoura等人[3]通过动态子结构将系统重新表述为二阶常微分方程，Ge等人[4]引入了“冻结”技术，通过固定时间参数将时变系统转换为时不变形式。尽管这些改进有效，但往往是渐进式的。传统求解器仍然依赖于时间步进方案，并且在处理高度参数化或不确定的系统时遇到困难。这些限制在需要重复仿真的应用中尤为明显，如可靠性分析、优化或数字孪生部署。

深度学习的最新进展为CVBD的替代建模开辟了新途径。这些模型旨在从输入条件（例如，车辆和桥梁参数、道路粗糙度、轨道不规则性等）到输出响应（例如，位移、加速度等）之间进行近似映射，而无需显式编码控制物理定律。因此，它们通常被视为“黑盒”模型。尽管如此，它们强大的非线性近似能力和易于部署的特点使其在变化条件下进行动态响应预测时具有吸引力。

多种神经架构已被应用于公路桥梁场景。Zhang等人[5]使用蚁群优化反向传播神经网络（BPNN）在随机交通条件下估计桥梁中跨变形量。Angelo等人[6]结合人工神经网络和遗传编程来捕捉制动引起的车辆-桥梁相互作用。Xu等人[7]使用多层长短期记忆（LSTM）网络根据实时轴荷和车辆速度预测梁端位移。在铁路领域，Li等人[8]、[9]、[10]探索了几种架构，包括反向传播人工神经网络（BP-ANN）和卷积神经网络-长短期记忆（CNN-LSTM）模型，以预测高速列车加载下的桥梁响应。他们的工作后来扩展到估计与安全相关的指标，如脱轨系数和卸载率。其他研究利用循环网络来估计中跨变形量、加速度或动态响应的概率分布[11,12]。值得注意的是，Moon等人[13]根据现场测量的应变和位移数据训练ANN模型，捕捉现实世界的噪声和环境影响，以提高在服役条件下的预测精度。深度学习也被广泛用于车辆-桥梁耦合响应的前向预测。Zhou等人[14]引入了一种使用物理约束生成对抗网络（PC-GAN）的新方法，从两轴车辆振动响应间接估计桥梁表面粗糙度，为车辆-桥梁耦合系统参数识别提供了一种新方法。

CVBD系统的响应预测从根本上可以归结为求解参数偏微分方程（PDEs），这类方程具有共同的结构，但在边界条件、初始状态、材料属性和外部激励等参数上有所不同。这种表述特别适用于随机振动分析和可靠性评估，其中不确定性来源于系统特性（例如，车辆和桥梁的质量、刚度、阻尼）、激励源（例如，道路粗糙度、轨道不规则性）和边界条件。因此，必须在不同的配置下求解大量的PDE实例。

传统的深度学习方法，如ANN和LSTM，近似特定的解实例，并且在参数发生变化时需要重新训练，这使得它们在大规模参数研究中效率低下。为了克服这一限制，最近的研究转向了算子学习，即尝试近似PDE族的解算子，即学习从输入函数到输出响应场的映射。这一范式导致了神经算子框架的发展，如Deep Operator Net（DeepONet）[15]和傅里叶神经算子（FNO）[16]。这些模型将输入函数编码为有限维表示（例如，通过点采样或傅里叶变换），并使用神经网络学习函数到函数的映射。一旦训练完成，它们允许通过单次前向传递快速推断任意可接受的参数，比传统求解器快得多。其中，DeepONet采用分支-主干架构，并在结构可靠性和流体动力学等领域取得了成功[17]、[18]、[19]。然而，由于其单输出设计，在复杂系统（如CVBD）中建模高维输出通常需要多个网络，限制了其可扩展性。

相比之下，FNO利用频域中的谱卷积来高效学习无限维函数空间之间的映射，同时天然支持多输出预测。近年来，傅里叶神经算子（FNO）在广泛的科学领域中得到了快速应用。例如，Wen等人[20]提出了U-FNO模型用于多相流模拟，而Guan等人[21]使用FNO求解均匀介质中的二维光声波方程。O’Brien等人[22]使用FNO进行火山地震信号的正向和逆向建模，展示了其在捕捉传统成像方法无法捕捉的细尺度速度结构方面的能力。Li等人[23]报告了FNO在三维湍流的大涡模拟中的优异性能。在大气科学中，Jiang等人[24]展示了FNO在零样本超分辨率生成一阶估计方面的潜力。Grady等人[25]应用FNO建模地下多相CO?动态，Zhang等人[26]展示了其在解决由多相流PDEs控制的正向、逆向和参数估计问题中的有效性。这些研究突显了神经算子框架的强大泛化能力和计算效率。特别是，FNO的谱形式在表示振荡和多频率行为方面具有显著优势，使其非常适合具有高分辨率时间数据和多个自由度的动态系统，如车辆-桥梁相互作用。这一更广泛的背景激发了当前的工作，并为将来将基于神经算子的方法扩展到更复杂的多物理耦合系统指明了有希望的方向。

尽管最近在数值算法和深度学习方面的进展改进了CVBD分析，但仍存在一些限制。大多数深度学习应用集中在铁路车辆-桥梁相互作用上，而对公路场景的关注相对较少。在许多情况下，模型是在狭窄的参数范围内训练的，这限制了它们对不同结构或操作条件的泛化能力，这对于可靠性分析和智能维护至关重要。此外，输入配置对模型性能的影响往往被忽视。许多模型仅依赖于位移输入，忽略了可能提高精度的速度和加速度信息，尤其是在具有复杂动态耦合的高维系统中。虽然基于物理的算子学习方法，如物理信息驱动的DeepONet[27]和物理信息驱动的FNO[28]，为结合物理约束提供了有希望的途径，但它们主要应用于低维问题。它们在真实的、参数丰富的CVBD场景中的有效性仍很大程度上未知。

本研究旨在探讨FNO在从简化的1-DOF到全尺寸13-DOF车辆系统的不同复杂度系统中的适用性。研究不仅强调基于物理的约束的集成，还重点比较了不同的输入-输出配置、损失函数公式和训练策略，旨在建立准确高效CVBD响应预测的实际指南。为此，使用传统的数值求解器在不同的物理和操作条件下生成了多个CVBD场景的合成数据集，包括车辆和桥梁的质量、刚度、阻尼、道路粗糙度、跨度长度和车辆速度。这些数据集用于训练和评估各种建模设置下的FNO模型，从纯数据驱动到增强物理的配置。特别关注导数输入、归一化尺度和加权数据损失函数的影响，尤其是在高维情况下。本文的其余部分结构如下。第2节介绍了CVBD建模公式和所提出的基于物理的FNO的架构。第3节提供了1-DOF、2-DOF和13-DOF车辆模型的CVBD系统的数值实验，详细评估了网络架构、输入设计、损失组成和训练策略。第4节总结了主要发现。

部分摘录

车辆-桥梁耦合动力学（CVBD）

本研究采用了一个简支梁桥模型（图1(a)），将其理想化为一个均匀的欧拉-伯努利梁，长度为L，单位长度的质量为ρA，弯曲刚度为EI，其中E和I分别表示杨氏模量和截面积的二次矩。为了捕捉不同级别的车辆建模复杂性，引入了三种车辆模型：简化的1-DOF和2-DOF模型，以及一个详细的13-DOF模型，如图1(b)～(d)所示。每个车辆模型包括……

数据准备

本研究的数据集是使用第2.1节中概述的仿真框架生成的。为了后续讨论的清晰性，将包含1-DOF、2-DOF和13-DOF车辆模型的车辆-桥梁耦合动态系统分别称为1-DOF、2-DOF和13-DOF CVBD系统。所有仿真假设车辆以恒定速度沿桥梁直线移动。网络的输入变量包括车辆速度、车辆位置等。

结论与未来展望

本研究评估了FNO在预测从简化的1-DOF到全尺寸13-DOF车辆模型的日益复杂的CVBD系统中的适用性。它不仅关注基于物理的约束，还系统地探讨了输入特征设计、损失公式和训练策略的影响，旨在为高效准确的CVBD建模提供实际指导。主要结论总结如下：

(1)

对于低维的1-DOF和2-DOF CVBD系统，

作者贡献声明

Jin Zhu：概念化；监督；资金获取；写作 - 审稿与编辑；Yijun Zhu：数据管理；形式分析；调查；方法论；写作 - 原始草稿；Mengxue Wu：监督；资金获取；Xingyu Lan：数据管理。

作者贡献声明

Jin Zhu：写作 - 审稿与编辑，监督，资金获取，概念化。Yijun Zhu：写作 - 原始草稿，方法论，调查，形式分析，数据管理。Mengxue Wu：监督，资金获取。Xingyu Lan：数据管理。