基于Lorenz曲线部分优势指数的收入分布比较：理论、估计与推断

《Probability in the Engineering and Informational Sciences》：The Lorenz dominance index: a continuous measure for inequality and social welfare comparisons

本文针对Lorenz曲线交叉时传统Lorenz优势检验失效的问题，提出了一种新的Lorenz优势指数（LDI）Γ(F1, F2)来量化两个收入分布F1和F2之间的部分优势程度。研究人员构建了Γ的非参数估计量，并证明了其渐近正态性。通过Bootstrap方法构建了置信区间并进行了假设检验。蒙特卡洛模拟验证了估计量的有限样本性质，并将其与Barrett和Donald（2009）及Sun和Beare（2021）的方法进行了比较。实证分析利用2020年中国家庭追踪调查（CFPS）数据，比较了中国中部、西南和东部地区的收入不平等，结果表明LDI能够有效检测出传统方法难以识别的分布差异。该研究为存在Lorenz曲线交叉情形下的不平等比较提供了更灵敏的工具。

　　

在经济学和社会学研究中，比较不同群体或地区的收入不平等程度是一个核心议题。Lorenz曲线和由此衍生的Gini系数是衡量收入不平等的经典工具。更进一步的，Lorenz优势（LD）概念被用来判断一个收入分布是否比另一个“更平等”。然而，现实中的数据常常呈现复杂的形态，两个分布的Lorenz曲线可能发生交叉，而非一个完全在另一个之上。在这种情况下，传统的LD检验会得出“无法排序”的结论，无法提供更多信息。这种不确定性限制了我们深入理解收入分布差异的能力。为了突破这一局限，迫切需要一种能够量化“在多大程度上”一个分布比另一个更平等的度量方法。

为了回答这个问题，发表在《Probability in the Engineering and Informational Sciences》上的这项研究，引入了一个新颖的指标——Lorenz优势指数（LDI）。LDI巧妙地度量了第一个分布F₁的Lorenz曲线L₁在总体中优于第二个分布F₂的Lorenz曲线L₂的人口比例。具体而言，Γ(F₁, F₂) = μ{p ∈ (0,1): L₁(p) < L₂(p)}，其中μ是勒贝格测度。当Γ接近0时，表明F₁在几乎整个种群上Lorenz占优于F₂（即严格LD）；当Γ接近0.5时，表明两个分布在不平等程度上相似；而当Γ偏离0.5时，则指示了存在部分但非全局的LD。这个指数有效地捕捉了Lorenz曲线交叉时“优势”的广度。

研究人员首先建立了LDI的理论框架，然后构建了其非参数估计量Γ?。通过严格的数学证明，他们确立了估计量的相合性和渐近正态性。为了进行统计推断，研究采用了非参数的Bootstrap方法来近似估计量的抽样分布，从而构建置信区间和进行假设检验。为了验证方法的有效性，他们进行了广泛的蒙特卡洛模拟实验，涵盖了多种收入分布模型（如Log-normal、Pareto、Weibull分布），并将新提出的LDI检验与Barrett等人（2009）以及Sun和Beare（2021）提出的LD检验方法在检验功效方面进行了比较。最后，研究利用2020年中国家庭追踪调查（CFPS）的住户收入数据，对中国中部、西南和东部三个主要区域的收入不平等进行了实证比较分析。

本研究主要依赖于数理统计的理论推导、蒙特卡洛模拟计算以及基于Bootstrap的重抽样统计推断技术。实证分析的数据来源于2020年中国家庭追踪调查（CFPS）的住户收入数据。

主要结果

估计量的渐近性质： 理论研究证明，在一定的正则条件下，所提出的LDI估计量Γ?是相合的，并且服从渐近正态分布，即√n (Γ? - Γ)收敛于一个均值为零、方差为σ2的正态分布。论文还给出了在不同Lorenz曲线交叉情况（无交叉、单点交叉、两点交叉）下渐近方差σ2的具体表达式。

Bootstrap推断的有效性： 理论分析进一步证明了所采用的Bootstrap方法能够有效地近似估计量的分布，即Bootstrap分布与真实抽样分布之间的差异依概率收敛到零。这为使用Bootstrap构建置信区间和进行假设检验提供了理论保障。

有限样本性能： 蒙特卡洛模拟结果表明，即使在样本量有限（n₁= n₂= 2000）的情况下，提出的估计量也表现出良好的性能，其均方误差（RMSE）较小。基于Bootstrap的置信区间的覆盖概率在各种模拟情境下都接近名义置信水平（如90%, 95%, 99%），表明推断方法是可靠的。

假设检验功效比较： 在与现有方法的比较中，新提出的基于LDI的检验方法在多种数据生成过程下都展现了相同或更高的检验功效（即正确拒绝原假设的概率）。特别是在Lorenz曲线存在交叉的复杂场景下，新方法能更有效地检测出分布间的差异。

实证应用： 对2020年CFPS数据的分析显示，中国东部、中部和西南地区的收入分布Lorenz曲线存在交叉，传统LD检验无法给出明确排序。然而，LDI分析提供了清晰的量化结果：Γ?(F_中部, F_东部) = 0.704的95%置信区间为[0.615, 0.792]，完全大于0.5，表明东部地区的收入不平等程度在统计上显著低于中部地区。类似地，Γ?(F_西南, F_东部) = 0.946的95%置信区间为[0.895, 1.000]，强烈支持东部地区比西南地区更平等。而Γ?(F_中部, F_西南) = 0.299的95%置信区间为[0.177, 0.411]，完全小于0.5，说明中部地区的收入不平等比西南地区更严重。这些发现揭示了传统方法难以捕捉的区域不平等模式。

结论与意义

本研究成功地开发并验证了一种用于比较收入分布的新工具——Lorenz优势指数（LDI）及其统计推断框架。该研究的主要贡献在于：首先，它提出了一个直观且可解释的度量Γ(F₁, F₂)，来量化当Lorenz曲线交叉时一个分布相对于另一个分布的优势程度，弥补了传统二元LD检验的不足。其次，研究提供了估计量的严格渐近理论，并证明了Bootstrap推断的有效性，为方法的实际应用奠定了坚实的统计学基础。最后，通过模拟和实证应用，研究证明了LDI在实践中的有效性和实用性。

这项研究的意义重大。它为经济学家和社会科学家在比较存在Lorenz曲线交叉的收入分布时，提供了一个比传统“全有或全无”的LD检验更加强大和细致入微的分析工具。政策制定者可以利用LDI来更精确地评估不同区域或社会群体间的收入不平等差异，识别哪些人口部分从不平等程度较低的政策或经济增长中受益更多。该方法不仅适用于收入分布比较，理论上也可扩展至其他具有类似Lorenz曲线结构的分布比较问题，如财富、健康指标等。因此，这项研究为不平等研究领域做出了重要的方法论贡献，具有广泛的应用前景。